ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 23.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен 27x³ — 18x²y — 12xy² + 8y³.

\( 27x^3 — 18x^2y — 12xy^2 + 8y^3 = (27x^3 + 8y^3) — (18x^2y + 12xy^2) = \)
\( = (3x + 2y)(9x^2 — 6xy + 4y^2) — 6xy(3x + 2y) = (3x + 2y) \cdot \)
\( \cdot (9x^2 — 6xy + 4y^2 — 6xy) = (3x + 2y)(9x^2 — 12xy + 4y^2) = \)
\( = (3x + 2y)(3x — 2y)^2 \).

Разложить на множители многочлен \( 27x^3 — 18x^2 y — 12xy^2 + 8y^3 \).

Шаг 1: Группируем слагаемые:

\( 27x^3 — 18x^2y — 12xy^2 + 8y^3 = (27x^3 + 8y^3) — (18x^2y + 12xy^2) \)

Шаг 2: Разлагаем каждую из групп:

Первая группа: \( 27x^3 + 8y^3 \) — это сумма кубов, которую можно разложить по формуле суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \). В нашем случае \( a = 3x \) и \( b = 2y \), так как \( (3x)^3 = 27x^3 \) и \( (2y)^3 = 8y^3 \). Таким образом:

\( 27x^3 + 8y^3 = (3x + 2y)(9x^2 — 6xy + 4y^2) \)

Вторая группа: \( -18x^2y — 12xy^2 \). Вынесем общий множитель \( -6xy \):

\( -18x^2y — 12xy^2 = -6xy(3x + 2y) \)

Шаг 3: Подставляем полученные разложения в исходное выражение:

\( (3x + 2y)(9x^2 — 6xy + 4y^2) — 6xy(3x + 2y) \)

Шаг 4: Вынесем общий множитель \( (3x + 2y) \):

\( (3x + 2y) \cdot (9x^2 — 6xy + 4y^2 — 6xy) \)

Шаг 5: Упростим выражение в скобках:

\( 9x^2 — 6xy + 4y^2 — 6xy = 9x^2 — 12xy + 4y^2 \)

Шаг 6: Получаем окончательное разложение:

\( (3x + 2y)(9x^2 — 12xy + 4y^2) \)

Шаг 7: Замечаем, что \( 9x^2 — 12xy + 4y^2 \) является полным квадратом разности, так как это выражение имеет вид \( (3x — 2y)^2 \).

Ответ: Разложение на множители:

\( 27x^3 — 18x^2y — 12xy^2 + 8y^3 = (3x + 2y)(3x — 2y)^2 \)