ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 23.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения \( 4^9 + 6^{10} + 3^{20} \) является квадратом натурального числа.

\( 4^9 + 6^{10} + 3^{20} = (2^2)^9 + 2^{10} \cdot 3^{10} + (3^{10})^2 = \)
\( = (2^9)^2 + 2 \cdot 2^9 \cdot 3^{10} + (3^{10})^2 = (2^9 + 3^{10})^2 \).

Следовательно, значение данного выражения является квадратом натурального числа.

Докажите, что значение выражения \( 4^9 + 6^{10} + 3^{20} \) является квадратом натурального числа.

Шаг 1: Преобразуем выражение.

Исходное выражение: \( 4^9 + 6^{10} + 3^{20} \).

Заменим \( 4^9 \) и \( 6^{10} \) через более удобные степени с основанием 2 и 3:

• Замечаем, что \( 4 = 2^2 \), тогда \( 4^9 = (2^2)^9 = 2^{18} \).
• Также \( 6 = 2 \cdot 3 \), поэтому \( 6^{10} = (2 \cdot 3)^{10} = 2^{10} \cdot 3^{10} \).
• Для \( 3^{20} \) оставим как есть, так как это уже простая степень.

Теперь выражение будет выглядеть так:

\( 2^{18} + 2^{10} \cdot 3^{10} + 3^{20} \).

Шаг 2: Группируем и преобразуем.

Обратим внимание, что выражение можно перезаписать так:

\( (2^9)^2 + 2 \cdot 2^9 \cdot 3^{10} + (3^{10})^2 \).

Здесь мы видим структуру, похожую на формулу квадрата суммы \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), где:

• \( a = 2^9 \),
• \( b = 3^{10} \).

Шаг 3: Применяем формулу квадрата суммы.

Используя формулу \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), получаем:

\( (2^9 + 3^{10})^2 \).

Шаг 4: Заключение.

Таким образом, выражение \( 4^9 + 6^{10} + 3^{20} \) преобразуется в квадрат числа \( 2^9 + 3^{10} \), что доказывает, что это выражение является квадратом натурального числа.

Ответ: Значение выражения \( 4^9 + 6^{10} + 3^{20} \) является квадратом натурального числа.