ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 24.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите такое наименьшее натуральное значение а, при котором выражение х² — 4х + 2а принимает положительные значения при любом значении х.

При \( a = 2 \) получим:

\( x^2 — 4x + 2a = x^2 — 4x + 4 = (x — 2)^2 \ge 0 \) при любом значении \( x \).

Но при \( x = 2 \) значение выражения будет равно 0 \( \rightarrow \) не подходит по условию задачи.

По условию значение выражения \( x^2 — 4x + 2a \) должно принимать только положительные значения.

Значит, при \( a = 3 \) значение данного выражения будет:

\( x^2 — 4x + 2a = x^2 — 4x + 6 = x^2 — 4x + 4 + 2 = (x — 2)^2 + 2 > 0 \).

Ответ: при \( a = 3 \).

Для того чтобы найти наименьшее значение \( a \), при котором выражение всегда положительно, рассмотрим это выражение и его свойства.

Рассмотрим выражение: \( f(x) = x^2 — 4x + 2a \). Это квадратное выражение, и для того чтобы оно принимало только положительные значения для любого \( x \), его дискриминант должен быть меньше нуля. Давайте вычислим его дискриминант.

Шаг 1: Приводим выражение к стандартному виду для квадратного уравнения. Мы видим, что оно уже имеет вид \( f(x) = ax^2 + bx + c \), где \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 2a \).

Шаг 2: Вычислим дискриминант. Для квадратного уравнения \( Ax^2 + Bx + C \) дискриминант \( \Delta \) рассчитывается по формуле:

\( \Delta = B^2 — 4AC \)

Для нашего уравнения \( A = 1 \), \( B = -4 \), \( C = 2a \). Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

\( \Delta = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2a = 16 — 8a \)

Шаг 3: Для того чтобы выражение \( f(x) = x^2 — 4x + 2a \) всегда было положительным, дискриминант должен быть меньше нуля. Это связано с тем, что если дискриминант положителен или равен нулю, то уравнение будет иметь реальные корни, и выражение может стать нулевым или отрицательным для некоторых значений \( x \). То есть для положительности выражения нам необходимо, чтобы дискриминант был меньше нуля:

\( 16 — 8a < 0 \)

Шаг 4: Решим неравенство для \( a \):

\( 16 < 8a \)

\( a > \frac{16}{8} \)

\( a > 2 \)

Шаг 5: Поскольку нам нужно наименьшее натуральное значение \( a \), которое удовлетворяет этому неравенству, то наименьшее значение \( a \), которое больше 2, равно 3.

Ответ: наименьшее натуральное значение \( a \), при котором выражение \( x^2 — 4x + 2a \) всегда положительно, равно \( a = 3 \).