ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 24.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

(Задача из «Теоретического и практического курса чистой математики» Е. Войтяховского.) Капитан на вопрос, сколько у него в команде людей, ответил, что \( \frac{2}{5} \) его команды в карауле, \( \frac{2}{7} \) — на работе, \( \frac{1}{4} \) — в лазарете и 27 человек в наличии. Вопрос: сколько человек было в его команде?

Пусть в команде капитана \( x \) человек, тогда \( \frac{2}{5}x \) человек в карауле, \( \frac{2}{7}x \) человек — на работе, \( \frac{1}{4}x \) — в лазарете и 27 человек в наличии.

Составим уравнение:

\( \frac{2}{5}x + \frac{2}{7}x + \frac{1}{4}x + 27 = x \quad | \cdot 140 \)

\( 28 \cdot 2x + 20 \cdot 2x + 35x + 27 \cdot 140 = 140x \)

\( 56x + 40x + 35x + 3780 = 140x \)

\( 131x + 3780 = 140x \)

\( 140x — 131x = 3780 \)

\( 9x = 3780 \)

\( x = \frac{3780}{9} \)

\( x = 420 \) (человек) — в команде.

Ответ: 420 человек.

Дано условие.

\( \frac{2}{5} \) команды — в карауле.

\( \frac{2}{7} \) команды — на работе.

\( \frac{1}{4} \) команды — в лазарете.

И ещё 27 человек — «в наличии» (то есть оставшиеся, не входящие в перечисленные группы).

Найти: сколько всего человек в команде.

Шаг 1. Введём переменную.

Пусть всего в команде \( x \) человек.

Шаг 2. Запишем численность каждой группы через \( x \).

В карауле: \( \frac{2}{5}x \).

На работе: \( \frac{2}{7}x \).

В лазарете: \( \frac{1}{4}x \).

В наличии (оставшиеся): \( 27 \).

Шаг 3. Составим уравнение по смыслу задачи.

Сумма всех перечисленных частей равна всему числу людей:

\( \frac{2}{5}x + \frac{2}{7}x + \frac{1}{4}x + 27 = x \).

Шаг 4. Приведём дробные слагаемые к общему знаменателю.

Знаменатели: \( 5, 7, 4 \). Их наименьшее общее кратное: \( 140 \).

Умножим обе части уравнения на \( 140 \), чтобы избавиться от дробей:

\( \left(\frac{2}{5}x + \frac{2}{7}x + \frac{1}{4}x + 27\right)\cdot 140 = x \cdot 140 \).

Шаг 5. Раскроем умножение по каждому слагаемому.

\( \frac{2}{5}x \cdot 140 = 2x \cdot \frac{140}{5} = 2x \cdot 28 = 56x \).

\( \frac{2}{7}x \cdot 140 = 2x \cdot \frac{140}{7} = 2x \cdot 20 = 40x \).

\( \frac{1}{4}x \cdot 140 = x \cdot \frac{140}{4} = x \cdot 35 = 35x \).

\( 27 \cdot 140 = 3780 \).

Правая часть: \( x \cdot 140 = 140x \).

Получаем уравнение без дробей:

\( 56x + 40x + 35x + 3780 = 140x \).

Шаг 6. Сложим подобные слагаемые слева.

\( 56x + 40x = 96x \).

\( 96x + 35x = 131x \).

Тогда:

\( 131x + 3780 = 140x \).

Шаг 7. Перенесём \( 131x \) в правую часть (или вычтем \( 131x \) из обеих частей).

\( 131x + 3780 — 131x = 140x — 131x \).

\( 3780 = 9x \).

Шаг 8. Найдём \( x \) делением обеих частей на 9.

\( x = \frac{3780}{9} \).

Шаг 9. Выполним деление.

\( 9 \cdot 400 = 3600 \), остаётся \( 180 \).

\( 9 \cdot 20 = 180 \).

Значит:

\( \frac{3780}{9} = 420 \).

Ответ: \( 420 \) человек.