ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 25.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В углах квадратного листа жести размером 1х1 м вырезали квадраты со стороной x см (рис.25.2) и из полученной заготовки согнули коробку в форме прямоугольного параллелепипеда. Запишите формулу, задающую функциональную зависимость объема V коробки от x. Найдите область определения этой функции.

1) Длина и ширина коробки по (1 м = 100 см):

\( 100 — x — x = 100 — 2x \) (см).
Высота коробки — \( x \) см.

2) Объем коробки:

\( V(x) = (100 — 2x)(100 — 2x)x = (100 — 2x)^2x \) (см³).

3) Область определения функции: множество чисел \( x \) таких, что \( 0 < x < 50 \),
так как \( 0 < 2x < 100 \).

Ответ: \( V(x) = (100 — 2x)^2x \); \( 0 < x < 50 \).

Задание: В углах квадратного листа жести размером 1х1 м вырезали квадраты со стороной \( x \) см и из полученной заготовки согнули коробку в форме прямоугольного параллелепипеда. Нужно записать формулу, задающую функциональную зависимость объема \( V \) коробки от \( x \), а также найти область определения этой функции.

1. Исходные данные:

Площадь исходного листа жести равна \( 1 \times 1 = 1 \) м². Переводим в сантиметры: \( 1 \, \text{м} = 100 \, \text{см} \), значит площадь листа в см² будет равна \( 100 \times 100 = 10000 \) см².

2. Вырезание квадратов из углов:

Из углов листа вырезают квадраты со стороной \( x \) см. После того как вырезаны квадраты, оставшиеся стороны прямоугольной заготовки будут иметь длину \( 100 — 2x \) см, так как по \( x \) см отрезано с каждой стороны (в каждом углу). Таким образом, основание коробки будет прямоугольным с размерами \( (100 — 2x) \) см и \( (100 — 2x) \) см, а высота коробки будет равна \( x \) см.

3. Формула объема коробки:

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле \( V = \text{длина} \times \text{ширина} \times \text{высота} \). В нашем случае длина и ширина коробки равны \( 100 — 2x \), а высота коробки равна \( x \). Поэтому объем коробки можно выразить как:

\( V(x) = (100 — 2x)(100 — 2x)x = (100 — 2x)^2x \) (см³).

4. Область определения функции:

Объем коробки будет физически осмысленным, если ширина вырезанных квадратов \( x \) положительна, но не превышает половины длины стороны листа (иначе основание коробки будет иметь отрицательные размеры). Поскольку длина стороны листа \( 100 \) см, то \( 2x \) должно быть меньше или равно \( 100 \), то есть \( x < 50 \). Также, так как \( x \) представляет собой длину стороны квадрата, \( x \) должно быть больше 0, то есть \( x > 0 \).

Таким образом, область определения функции: \( 0 < x < 50 \).

Ответ: Формула для объема коробки:

\( V(x) = (100 — 2x)^2x \), где область определения: \( 0 < x < 50 \).