ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 25.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \( x + y = \frac{a^2}{4} \), \( y + z = -a \), \( x + z = 1 \). Докажите, что выражение \( x + y + z \) принимает только неотрицательные значения.

Известно, что \( x + y = \frac{a^2}{4} \), \( y + z = -a \), \( x + z = 1 \), тогда:

\(
\begin{aligned}
& x + y = \frac{a^2}{4} \\
+ & y + z = -a \\
& x + z = 1 \\
\hline
& 2x + 2y + 2z = \frac{a^2}{4} — a + 1.
\end{aligned}
\)

Отсюда:

\(
2(x + y + z) = \frac{a^2}{4} — 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot 1 + 1
\)

\(
2(x + y + z) = \left(\frac{a}{2} — 1\right)^2 \quad | : 2
\)

\(
x + y + z = \frac{\left(\frac{a}{2} — 1\right)^2}{2}
\)

\(
x + y + z = \frac{1}{2}\left(\frac{a}{2} — 1\right)^2 \geq 0, \text{ так как } \left(\frac{a}{2} — 1\right)^2 \geq 0.
\)

Следовательно, выражение \( (x + y + z) \) принимает только неотрицательные значения.

Что и требовалось доказать.

Заданы три уравнения:

1. \( x + y = \frac{a^2}{4} \)

2. \( y + z = -a \)

3. \( x + z = 1 \)

Необходимо доказать, что выражение \( x + y + z \) принимает только неотрицательные значения.

1. Сложим все три уравнения:

\( (x + y) + (y + z) + (x + z) = \frac{a^2}{4} + (-a) + 1 \)

2. Упростим левую часть:

\( x + y + y + z + x + z = 2x + 2y + 2z \)

Таким образом, получаем:

\( 2x + 2y + 2z = \frac{a^2}{4} — a + 1 \)

3. Разделим обе части уравнения на 2:

\( x + y + z = \frac{\frac{a^2}{4} — a + 1}{2} \)

4. Перепишем правую часть выражения, чтобы она была более удобной для анализа:

\( x + y + z = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2}{4} — a + 1 \right) \)

5. Попробуем упростить выражение \( \frac{a^2}{4} — a + 1 \). Для этого заметим, что оно можно представить как квадрат разности:

\( \frac{a^2}{4} — a + 1 = \left( \frac{a}{2} — 1 \right)^2 \)

6. Таким образом, выражение для \( x + y + z \) принимает вид:

\( x + y + z = \frac{1}{2} \left( \frac{a}{2} — 1 \right)^2 \)

7. Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то:

\( \left( \frac{a}{2} — 1 \right)^2 \geq 0 \)

8. Следовательно, \( x + y + z \) всегда неотрицательно, так как оно равно половине квадрата, который не может быть отрицательным:

\( x + y + z \geq 0 \)

Таким образом, мы доказали, что выражение \( x + y + z \) принимает только неотрицательные значения.