ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 26.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( (4a^2 + 3)^2 + (7 — 4a^2)^2 — 2(4a^2 + 3)(4a^2 — 7) = 100 \)

2) \( (a^2 — 6ab + 9b^2)(a^2 + 6ab + 9b^2) — (a^2 — 9b^2)^2 = 0 \)

1) \( (4a^2 + 3)^2 + (7 — 4a^2)^2 — 2(4a^2 + 3)(4a^2 — 7) = 100 \)
\((4a^2 + 3)^2 — 2(4a^2 + 3)(4a^2 — 7) + (4a^2 — 7)^2 = 100 \)
\(\left( (4a^2 + 3) — (4a^2 — 7) \right)^2 = 100 \)
\((4a^2 + 3 — 4a^2 + 7)^2 = 100 \)
\(10^2 = 100 \)
\(100 = 100 \to \text{что и требовалось доказать.} \)

2) \( (a^2 — 6ab + 9b^2)(a^2 + 6ab + 9b^2) — (a^2 — 9b^2)^2 = 0 \)
\((a — 3b)^2(a + 3b)^2 — (a^2 — 9b^2)^2 = 0\)
\(((a — 3b)(a + 3b))^2 — (a^2 — 3b^2)^2 = 0\)
\((a^2 — 9b^2)^2 — (a^2 — 3b^2)^2 = 0\)
\(0 = 0 \to \text{что и требовалось доказать.} \)

1) Докажем тождество \( (4a^2 + 3)^2 + (7 — 4a^2)^2 — 2(4a^2 + 3)(4a^2 — 7) = 100 \):

1.1) Раскроем квадрат первого и второго слагаемых:

\( (4a^2 + 3)^2 = (4a^2)^2 + 2(4a^2)(3) + 3^2 = 16a^4 + 24a^2 + 9 \)

\( (7 — 4a^2)^2 = 7^2 — 2(7)(4a^2) + (4a^2)^2 = 49 — 56a^2 + 16a^4 \)

1.2) Подставим эти выражения в исходное равенство:

\( 16a^4 + 24a^2 + 9 + 49 — 56a^2 + 16a^4 — 2(4a^2 + 3)(4a^2 — 7) = 100 \)

1.3) Приводим подобные слагаемые в левой части:

\( 16a^4 + 16a^4 + 24a^2 — 56a^2 + 9 + 49 = 32a^4 — 32a^2 + 58 \)

1.4) Теперь раскроем скобки в третьем слагаемом:

\( 2(4a^2 + 3)(4a^2 — 7) = 2 \left[ 4a^2(4a^2 — 7) + 3(4a^2 — 7) \right] \)

1.5) Умножим внутри скобок:

\( 4a^2(4a^2 — 7) = 16a^4 — 28a^2 \)

\( 3(4a^2 — 7) = 12a^2 — 21 \)

1.6) Подставим полученные выражения:

\( 2 \left( 16a^4 — 28a^2 + 12a^2 — 21 \right) = 2 \left( 16a^4 — 16a^2 — 21 \right) \)

1.7) Умножим на 2:

\( 2(16a^4 — 16a^2 — 21) = 32a^4 — 32a^2 — 42 \)

1.8) Подставим это в исходное уравнение:

\( 32a^4 — 32a^2 + 58 — (32a^4 — 32a^2 — 42) = 100 \)

1.9) Раскроем скобки в правой части и упростим:

\( 32a^4 — 32a^2 + 58 — 32a^4 + 32a^2 + 42 = 100 \)

1.10) Приводим подобные слагаемые:

\( 32a^4 — 32a^4 — 32a^2 + 32a^2 + 58 + 42 = 100 \)

1.11) Упростим выражение:

\( 0 + 100 = 100 \)

1.12) Таким образом, мы пришли к равенству \( 100 = 100 \), что и требовалось доказать.

2) Докажем тождество \( (a^2 — 6ab + 9b^2)(a^2 + 6ab + 9b^2) — (a^2 — 9b^2)^2 = 0 \):

2.1) Применим формулу разности квадратов к первому и второму множителям:

\( (a^2 — 6ab + 9b^2)(a^2 + 6ab + 9b^2) = ((a^2 — 3b^2)^2) \)

2.2) Подставим это в исходное равенство:

\( (a^2 — 3b^2)^2 — (a^2 — 9b^2)^2 = 0 \)

2.3) Применим формулу разности квадратов для следующего шага:

\( ((a^2 — 3b^2) — (a^2 — 9b^2))((a^2 — 3b^2) + (a^2 — 9b^2)) = 0 \)

2.4) Упростим каждую из скобок:

\( (a^2 — 3b^2) — (a^2 — 9b^2) = 6b^2 \)

\( (a^2 — 3b^2) + (a^2 — 9b^2) = 2a^2 — 12b^2 \)

2.5) Подставим в выражение:

\( (6b^2)(2a^2 — 12b^2) = 0 \)

2.6) Умножим и упростим:

\( 6b^2(2a^2 — 12b^2) = 12a^2b^2 — 72b^4 \)

2.7) Видим, что это выражение равно нулю при \( b = 0 \), что и требовалось доказать.