Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 26.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что при любом нечётном значении n значение выражения (4n + 1)² — (n + 4)² кратно 120.
\( (4n + 1)^2 — (n + 4)^2 = 16n^2 + 8n + 1 — n^2 — 8n — 16 = \)
\( = 15n^2 — 15 = 15(n^2 — 1) = 15(n — 1)(n + 1) \).
При \( n \) — нечетное число, \( (n — 1) \) и \( (n + 1) \) — четные числа и число \( (n + 1) \) на 2 больше, чем число \( (n — 1) \), то есть, число \( (n + 1) \) кратно 4. Значит, \( n — 1 = 2a \) и \( n + 1 = 4b \), тогда:
\( 15 \cdot 2a \cdot 4b = 120ab \to \) кратно 120 при любом нечетном значении \( n \).
Что и требовалось доказать.
Докажем, что при любом нечётном значении \( n \) значение выражения \( (4n + 1)^2 — (n + 4)^2 \) кратно 120.
Рассмотрим выражение:
\( (4n + 1)^2 — (n + 4)^2 \)
Для начала раскроем оба квадрата:
\( (4n + 1)^2 = (4n)^2 + 2 \cdot 4n \cdot 1 + 1^2 = 16n^2 + 8n + 1 \)
\( (n + 4)^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot 4 + 4^2 = n^2 + 8n + 16 \)
Теперь подставим эти выражения в исходную разность:
\( (4n + 1)^2 — (n + 4)^2 = (16n^2 + 8n + 1) — (n^2 + 8n + 16) \)
Выполним вычитание:
\( = 16n^2 + 8n + 1 — n^2 — 8n — 16 \)
Сгруппируем подобные члены:
\( = (16n^2 — n^2) + (8n — 8n) + (1 — 16) \)
\( = 15n^2 — 15 \)
Вынесем 15 за скобки:
\( = 15(n^2 — 1) \)
Это можно записать как:
\( = 15(n — 1)(n + 1) \)
Теперь рассмотрим выражение \( (n — 1)(n + 1) \). Так как \( n \) — нечётное число, то:
— \( (n — 1) \) и \( (n + 1) \) — два последовательных чётных числа, одно из которых делится на 2, а другое — на 4.
Таким образом, \( (n — 1) = 2a \), где \( a \) — целое число, и \( (n + 1) = 4b \), где \( b \) — целое число.
Теперь подставим это в выражение \( 15(n — 1)(n + 1) \):
\( 15(n — 1)(n + 1) = 15 \cdot 2a \cdot 4b = 120ab \)
Так как произведение \( 120ab \) делится на 120 при любом целочисленном значении \( a \) и \( b \), то выражение \( 15(n — 1)(n + 1) \) всегда кратно 120 при любом нечётном \( n \).
Таким образом, мы доказали, что при любом нечётном значении \( n \) значение выражения \( (4n + 1)^2 — (n + 4)^2 \) кратно 120.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!