ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 27.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Является ли линейной функция, заданная формулой:

1) \( y = 3x — 2 \)

2) \( y = 8 — 7x \)

3) \( y = \frac{x}{3} + 2 \)

4) \( y = \frac{3}{x} + 2 \)

5) \( y = 2x^2 + 4 \)

6) \( y = \frac{12x — 8}{4} \)

7) \( y = \frac{x}{5} \)

8) \( y = -4 \)

9) \( y = 0 \)

\( y = kx + b \to \) линейная функция.

1) \( y = 3x — 2 \Longrightarrow \) является линейной; \( k = 3 \); \( b = -2 \).

2) \( y = 8 — 7x \Longrightarrow \) является линейной; \( k = -7 \); \( b = 8 \);

3) \( y = \frac{x}{3} + 2 \Longrightarrow \) является линейной; \( k = \frac{1}{3} \); \( b = 2 \);

4) \( y = \frac{3}{x} + 2 \Longrightarrow \) не является линейной;

5) \( y = 2x^2 + 4 \Longrightarrow \) не является линейной;

6) \( y = \frac{12x — 8}{4} = 3x — 2 \Longrightarrow \) является линейной; \( k = 3 \); \( b = -2 \);

7) \( y = \frac{x}{5} \Longrightarrow \) является линейной; \( k = \frac{1}{5} \); \( b = 0 \);

8) \( y = -4 \Longrightarrow \) является линейной; \( k = 0 \); \( b = -4 \);

9) \( y = 0 \Longrightarrow \) является линейной; \( k = 0 \); \( b = 0 \).

Линейной функцией называется функция, которая может быть представлена в виде уравнения:

\( y = kx + b \),

где \( k \) — коэффициент наклона прямой (параметр, определяющий угол наклона), а \( b \) — свободный член (пересечение с осью \( y \), то есть значение функции при \( x = 0 \)).

Линейная функция характеризуется тем, что переменная \( x \) появляется только в первой степени, и функции не содержат произведений переменных, дробей с переменной в знаменателе или других более сложных операций с переменной.

Рассмотрим каждую функцию:

1) \( y = 3x — 2 \):

Это уравнение имеет вид \( y = kx + b \), где \( k = 3 \) и \( b = -2 \). В этой функции переменная \( x \) находится в первой степени, и уравнение представляется в виде линейной функции. Следовательно, эта функция является линейной.

2) \( y = 8 — 7x \):

Уравнение \( y = 8 — 7x \) также соответствует форме \( y = kx + b \), где \( k = -7 \) и \( b = 8 \). Переменная \( x \) опять же находится в первой степени, и уравнение является линейным. Эта функция также линейна.

3) \( y = \frac{x}{3} + 2 \):

Это уравнение можно переписать в виде \( y = \frac{1}{3}x + 2 \), где \( k = \frac{1}{3} \) и \( b = 2 \). Переменная \( x \) находится в первой степени, и уравнение представляется в форме линейной функции. Следовательно, эта функция линейна.

4) \( y = \frac{3}{x} + 2 \):

В этой функции переменная \( x \) находится в знаменателе дроби, то есть в уравнении есть операция деления на переменную \( x \), что нарушает форму линейной функции \( y = kx + b \). Такие функции называются рациональными, а не линейными. Следовательно, эта функция не является линейной.

5) \( y = 2x^2 + 4 \):

В этом уравнении переменная \( x \) возводится в квадрат, что также нарушает форму линейной функции, так как линейная функция требует, чтобы \( x \) присутствовала только в первой степени. Это уравнение представляет собой квадратичную функцию. Следовательно, эта функция не является линейной.

6) \( y = \frac{12x — 8}{4} \):

Для упрощения этого уравнения выполним деление на 4:

\( y = \frac{12x}{4} — \frac{8}{4} = 3x — 2 \).

Теперь у нас получилось уравнение \( y = 3x — 2 \), которое является линейной функцией, так как оно соответствует виду \( y = kx + b \), где \( k = 3 \) и \( b = -2 \). Следовательно, эта функция линейна.

7) \( y = \frac{x}{5} \):

Это уравнение можно записать в виде \( y = \frac{1}{5}x + 0 \), где \( k = \frac{1}{5} \) и \( b = 0 \). В этом уравнении переменная \( x \) находится в первой степени, и оно соответствует виду линейной функции \( y = kx + b \). Следовательно, эта функция линейна.

8) \( y = -4 \):

Это уравнение можно записать как \( y = 0x — 4 \), где \( k = 0 \) и \( b = -4 \). Такое уравнение представляет собой горизонтальную прямую, так как наклон равен нулю. Горизонтальная прямая — это частный случай линейной функции, поэтому эта функция также является линейной.

9) \( y = 0 \):

Это уравнение можно записать как \( y = 0x + 0 \), где \( k = 0 \) и \( b = 0 \). Это уравнение также представляет собой горизонтальную прямую, и, как и в предыдущем случае, оно является линейной функцией.

Итак, линейными функциями являются:

• 1) \( y = 3x — 2 \)
• 2) \( y = 8 — 7x \)
• 3) \( y = \frac{x}{3} + 2 \)
• 6) \( y = 3x — 2 \) (после преобразования)
• 7) \( y = \frac{x}{5} \)
• 8) \( y = -4 \)
• 9) \( y = 0 \)

Функции, которые не являются линейными:

• 4) \( y = \frac{3}{x} + 2 \)
• 5) \( y = 2x^2 + 4 \)