ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 27.56 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Графики функций у = -(2k + 3)х — 1 — 2k и у = kх + k + 2, где k > О, пересекают ось ординат в точках А и В соответственно. Точку пересечения этих графиков обозначили буквой М. Можно ли, стерев оси координат и графики, восстановить систему координат по точкам А, В и M?

Найдем точку пересечения данных графиков:

\(y = -(2k + 3)x — 1 — 2k\) и \(y = kx + k + 2;\)

Приравняем обе функции:

\(-(2k + 3)x — 1 — 2k = kx + k + 2\)

Раскроем скобки и переместим все термины на одну сторону уравнения:

\(-2kx — 3x — 1 — 2k — kx — k = 2\)

Соберем подобные члены:

\(-3kx — 3k — 3x = 3 \quad | : 3\)

\(-kx — k — x = 1\)

Выносим \(-x\) за скобки:

\(-x(k + 1) = 1 + k\)

Решим для \(x\):

\(-x = \frac{1 + k}{k + 1},\) так как \(k > 0\), то:

\(-x = 1\)

Таким образом, \(x = -1\).

Теперь найдем значение \(y\), подставив \(x = -1\) в одну из исходных функций, например, \(y = kx + k + 2\):

\(y = k(-1) + k + 2 = -k + k + 2 = 2.\)

Следовательно, графики пересекаются в точке \(M(-1; 2)\) при любом \(k > 0\). Значит, можно восстановить систему координат по точкам \(A\), \(B\) и \(M\).

Ответ: можно.

Для начала найдем координаты точек пересечения графиков с осью ординат. Эти точки соответствуют значениям \(y\), когда \(x = 0\). Подставим \(x = 0\) в уравнения функций и найдем \(y\) для обеих функций:

1) Для функции \(y = -(2k + 3)x — 1 — 2k\), подставляем \(x = 0\):

\(y = -(2k + 3) \cdot 0 — 1 — 2k = -1 — 2k.\)

Таким образом, точка пересечения с осью ординат для первой функции — это точка \(A(0; -1 — 2k)\).

2) Для функции \(y = kx + k + 2\), подставляем \(x = 0\):

\(y = k \cdot 0 + k + 2 = k + 2.\)

Таким образом, точка пересечения с осью ординат для второй функции — это точка \(B(0; k + 2)\).

Теперь, чтобы найти точку пересечения этих двух графиков, приравняем уравнения обеих функций:

\(-(2k + 3)x — 1 — 2k = kx + k + 2\)

Переносим все члены на одну сторону:

\(-2kx — 3x — 1 — 2k — kx — k = 2\)

Собираем подобные члены:

\(-3kx — 3x — 3k — 3 = 3\)

Преобразуем уравнение:

\(-x(k + 1) = 1 + k\)

Теперь решим для \(x\):

\(x = -\frac{1 + k}{k + 1}\), так как \(k > 0\), то:

\(x = -1\)

Теперь подставим \(x = -1\) в одно из уравнений для нахождения \(y\). Используем \(y = kx + k + 2\):

\(y = k(-1) + k + 2 = -k + k + 2 = 2.\)

Таким образом, точка пересечения графиков — это точка \(M(-1; 2)\).

Теперь рассмотрим, можно ли восстановить систему координат, стерев оси координат и графики, по точкам \(A\), \(B\) и \(M\). Для восстановления системы координат достаточно знать три точки: две точки пересечения с осями и одну точку пересечения графиков. Эти три точки дают достаточно информации для восстановления положения осей координат. Мы можем восстановить положение оси \(x\) и оси \(y\) и определить значения для масштаба, так как точки \(A\) и \(B\) уже находятся на осях, а точка \(M\) дает нам положение на пересечении графиков.

Ответ: можно восстановить систему координат по точкам \(A\), \(B\) и \(M\).