ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 27.60 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 3.

Пусть даны три последовательных натуральных числа:

\((n — 1), n, (n + 1).\)

Тогда:

\((n — 1)^3 + n^3 + (n + 1)^3 = n^3 — 3n^2 + 3n — 1 + n^3 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 =\)

\(= 3n^3 + 6n = 3(n^3 + 2n) \rightarrow\) делится нацело на \(3.\)

Что и требовалось доказать.

Пусть даны три последовательных натуральных числа:

\((n — 1), n, (n + 1)\), где \(n\) — некоторое натуральное число.

Необходимо доказать, что сумма их кубов:

\((n — 1)^3 + n^3 + (n + 1)^3\)

Шаг 1: Раскроем кубы каждого из чисел в выражении.

Для первого куба \((n — 1)^3\) используем формулу куба двучлена:

\((n — 1)^3 = n^3 — 3n^2 + 3n — 1\)

Для второго куба \(n^3\) ничего раскрывать не нужно, он остаётся таким, как есть:

\(n^3\)

Для третьего куба \((n + 1)^3\) также используем формулу куба двучлена:

\((n + 1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1\)

Теперь подставим все полученные выражения в исходную сумму:

\((n — 1)^3 + n^3 + (n + 1)^3 = (n^3 — 3n^2 + 3n — 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)\)

Шаг 2: Приведём подобные слагаемые.

Сначала складываем все \(n^3\):

\(n^3 + n^3 + n^3 = 3n^3\)

Теперь складываем все \(n^2\):

\(-3n^2 + 3n^2 = 0\)

Теперь складываем все \(n\):

\(3n + 3n = 6n\)

И, наконец, складываем все постоянные слагаемые:

\(-1 + 1 = 0\)

Таким образом, сумма кубов становится:

\(3n^3 + 6n\)

Шаг 3: Вынесем общий множитель 3 за скобки:

\(3n^3 + 6n = 3(n^3 + 2n)\)

Шаг 4: Теперь видно, что выражение \(3(n^3 + 2n)\) делится на 3, так как есть множитель 3.

Что и требовалось доказать.