ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 27.63 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом значении x значение выражения |x| — x больше соответствующего значения выражения 2х — х² — 2.

1) \( |x| — x \ge 0 \), так как \( |x| \ge x. \)

2) \( 2x — x^2 — 2 = -x^2 + 2x — 1 — 1 = -(x^2 — 2x + 1) — 1 =\)
\( = -(x — 1)^2 — 1 < 0. \)

3) Следовательно, значение выражения \( |x| — x \) больше значения выражения \( 2x — x^2 — 2 \) при любом \( x. \)

Что и требовалось доказать.

Задано неравенство: нужно доказать, что при любом значении \(x\) значение выражения \( |x| — x \) больше соответствующего значения выражения \( 2x — x^2 — 2 \).

1. Рассмотрим выражения для двух случаев: когда \(x \ge 0\) и когда \(x < 0\), так как значение \( |x| \) зависит от знака \(x\).

Случай 1: \(x \ge 0\).

Когда \(x \ge 0\), то \( |x| = x\). Таким образом, выражение \( |x| — x \) становится:

\( |x| — x = x — x = 0. \)

Теперь рассмотрим выражение \( 2x — x^2 — 2 \). Подставим \(x \ge 0\) в это выражение:

\( 2x — x^2 — 2 \).

2. Анализируем его знак при \(x \ge 0\):

Это квадратное выражение, которое можно переписать в виде:

\( — (x^2 — 2x + 1) — 1 \), так как \(x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2\). Следовательно:

\( 2x — x^2 — 2 = -(x — 1)^2 — 1 \), что всегда меньше нуля, так как квадрат любого числа неотрицателен, а \( -1 \) делает выражение отрицательным.

Таким образом, для \(x \ge 0\) выполняется неравенство:

\( |x| — x = 0 > 2x — x^2 — 2 < 0 \).

Случай 2: \(x < 0\).

Когда \(x < 0\), то \( |x| = -x\). Таким образом, выражение \( |x| — x \) становится:

\( |x| — x = -x — x = -2x. \)

Теперь рассмотрим выражение \( 2x — x^2 — 2 \). Подставим \(x < 0\) в это выражение:

\( 2x — x^2 — 2 \).

3. Анализируем его знак при \(x < 0\):

Для \(x < 0\) это выражение также будет отрицательным, так как \(x^2\) всегда положительно, а сумма с \(2x\) не может превысить \(-2\) (например, для \(x = -1\) результат будет \( -1 — 1 — 2 = -4\)). Таким образом:

\( 2x — x^2 — 2 < 0 \) при любом \(x < 0\).

4. Сравниваем \( |x| — x = -2x \) и \( 2x — x^2 — 2 \):

Так как \(x < 0\), то \( -2x > 0 \), что больше, чем \(2x — x^2 — 2\), которое отрицательно.

Таким образом, для \(x < 0\) выполняется неравенство:

\( |x| — x = -2x > 2x — x^2 — 2 < 0 \).

Заключение:

Мы рассмотрели оба случая — когда \(x \ge 0\) и когда \(x < 0\). Во всех случаях выражение \( |x| — x \) больше, чем \( 2x — x^2 — 2 \), что и требовалось доказать.