ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 28.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все пары (x; y) целых чисел, являющиеся решениями уравнения x² + y² = 5.

\(x^2 + y^2 = 5\)

\(x^2 = 5 — y^2.\)

Так как \(x\) и \(y\) целые числа, то выражение \((5 — y^2)\) должно быть целым неотрицательным числом (так как \(x^2 \ge 0\)):

при \(y = -2, \qquad x^2 = 5 — 4 = 1 \Longrightarrow x = \pm 1;\)

при \(y = -1, \qquad x^2 = 5 — 1 = 4 \Longrightarrow x = \pm 2;\)

при \(y = 0, \qquad x^2 = 5 — 0 = 5 \Longrightarrow x\) — не целое число;

при \(y = 1, \qquad x^2 = 5 — 1 = 4 \Longrightarrow x = \pm 2;\)

при \(y = 2, \qquad x^2 = 5 — 4 = 1 \Longrightarrow x = \pm 1;\)

далее \(x^2\) будет отрицательным числом, значит, решений нет.

Ответ: \((-1; -2), (1; -2), (-2; -1), (2; -1), (-2; 1), (2; 1), (-1; 2), (1; 2).\)

Рассмотрим уравнение: \(x^2 + y^2 = 5\).

Нам нужно найти все пары \((x; y)\) целых чисел, которые являются решениями этого уравнения. Начнем с того, что \(x^2\) и \(y^2\) всегда неотрицательны, то есть \(x^2 \geq 0\) и \(y^2 \geq 0\), следовательно, их сумма тоже будет неотрицательной. Так как \(x^2 + y^2 = 5\), нам нужно найти такие значения для \(x\) и \(y\), при которых их квадраты в сумме дают 5.

Для этого будем поочередно подставлять возможные значения для \(y\), начиная от \(y = 0\), и для каждого из этих значений решать уравнение для \(x\).

1. При \(y = -2\):

Подставим \(y = -2\) в уравнение:

\(x^2 + (-2)^2 = 5\),

\(x^2 + 4 = 5\),

\(x^2 = 5 — 4 = 1\),

Таким образом, \(x = \pm 1\). Пары решений: \((-1; -2)\) и \((1; -2)\).

2. При \(y = -1\):

Подставим \(y = -1\) в уравнение:

\(x^2 + (-1)^2 = 5\),

\(x^2 + 1 = 5\),

\(x^2 = 5 — 1 = 4\),

Таким образом, \(x = \pm 2\). Пары решений: \((-2; -1)\) и \((2; -1)\).

3. При \(y = 0\):

Подставим \(y = 0\) в уравнение:

\(x^2 + 0^2 = 5\),

\(x^2 = 5\).

Однако, \(\sqrt{5}\) не является целым числом, следовательно, решений нет для \(y = 0\).

4. При \(y = 1\):

Подставим \(y = 1\) в уравнение:

\(x^2 + 1^2 = 5\),

\(x^2 + 1 = 5\),

\(x^2 = 5 — 1 = 4\),

Таким образом, \(x = \pm 2\). Пары решений: \((-2; 1)\) и \((2; 1)\).

5. При \(y = 2\):

Подставим \(y = 2\) в уравнение:

\(x^2 + 2^2 = 5\),

\(x^2 + 4 = 5\),

\(x^2 = 5 — 4 = 1\),

Таким образом, \(x = \pm 1\). Пары решений: \((-1; 2)\) и \((1; 2)\).

Далее, если \(y > 2\), то \(y^2\) будет больше 5, что сделает невозможным решение уравнения для целых чисел \(x\), так как \(x^2\) не может быть отрицательным. Таким образом, мы завершаем поиск решений для значений \(y > 2\).

Итак, все пары целых чисел \((x; y)\), которые являются решениями уравнения \(x^2 + y^2 = 5\), это:

\((-1; -2), (1; -2), (-2; -1), (2; -1), (-2; 1), (2; 1), (-1; 2), (1; 2).\)