ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 28.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Кате надо заплатить за брошюру 29 р. У нее есть только монеты по 2 р. и по 5 р. Сколькими способами она может рассчитаться за покупку, не получая сдачи?

Пусть у Кати \(m\) монет по 2 руб и \(n\) монет по 5 руб.

Тогда:

\(2m + 5n = 29\)

\(2m = 29 — 5n\)

\(m = \frac{29 — 5n}{2}.\)

Выражение \((29 — 5n)\) должно делиться нацело на 2,

причем \(0 < m \le 12\) и \(0 < n \le 5\):

\(29 — 5n = 2,\)

\(5n = 27\) не подходит;

\(29 — 5n = 4\)

\(5n = 25\)

\(n = 5\);

\(29 — 5n = 6\)

\(5n = 23\) не подходит;

\(29 — 5n = 8\)

\(5n = 21\) не подходит;

\(29 — 5n = 10\)

\(5n = 19\) не подходит;

\(29 — 5n = 12\)

\(5n = 17\) не подходит;

\(29 — 5n = 14\)

\(5n = 15\)

\(n = 3\);

\(29 — 5n = 16\)

\(5n = 13\) не подходит;

\(29 — 5n = 18\)

\(5n = 11\) не подходит;

\(29 — 5n = 20\)

\(5n = 9\) не подходит;

\(29 — 5n = 22\)

\(5n = 7\) не подходит;

\(29 — 5n = 24\)

\(5n = 5\)

\(n = 1.\)

При \(n = 1, m = 12;\)

при \(n = 3, m = 7;\)

при \(n = 5, m = 2.\)

Значит, тремя способами может рассчитаться Катя за покупку, не получая сдачи.

Ответ: тремя способами.

Обозначим количество монет по 2 рубля за \(m\), а количество монет по 5 рублей за \(n\). Тогда сумма денег, которую Катя может заплатить, будет выражаться следующим образом:

\(2m + 5n = 29\)

Нам нужно найти все возможные целые значения \(m\) и \(n\), при которых это уравнение выполняется.

Решение:

1. Из уравнения \(2m + 5n = 29\) выразим \(m\):

\(2m = 29 — 5n\)

\(m = \frac{29 — 5n}{2}\)

Чтобы \(m\) было целым числом, выражение \((29 — 5n)\) должно быть четным числом, так как деление на 2 должно давать целое число.

Для этого рассмотрим значения \(n\), от которых зависит четность выражения \(29 — 5n\). Поскольку 29 нечетное, то для того чтобы \(29 — 5n\) было четным числом, \(5n\) должно быть нечетным. Поскольку 5 нечетное число, то \(n\) также должно быть нечетным.

Таким образом, \(n\) должно быть одним из следующих значений: 1, 3, 5 (поскольку \(n\) не может превышать 5, так как количество монет по 5 рублей не может быть больше 5, чтобы сумма не превышала 29 рублей).

Теперь подставим эти значения для \(n\) и найдем соответствующие значения \(m\):

2. При \(n = 1\):

\(m = \frac{29 — 5 \cdot 1}{2} = \frac{29 — 5}{2} = \frac{24}{2} = 12\).

Таким образом, при \(n = 1\) и \(m = 12\) Катя может использовать 12 монет по 2 рубля и 1 монету по 5 рублей.

3. При \(n = 3\):

\(m = \frac{29 — 5 \cdot 3}{2} = \frac{29 — 15}{2} = \frac{14}{2} = 7\).

Таким образом, при \(n = 3\) и \(m = 7\) Катя может использовать 7 монет по 2 рубля и 3 монеты по 5 рублей.

4. При \(n = 5\):

\(m = \frac{29 — 5 \cdot 5}{2} = \frac{29 — 25}{2} = \frac{4}{2} = 2\).

Таким образом, при \(n = 5\) и \(m = 2\) Катя может использовать 2 монеты по 2 рубля и 5 монет по 5 рублей.

Итак, все возможные решения уравнения \(2m + 5n = 29\) для целых чисел \(m\) и \(n\) — это:

\((m = 12, n = 1), (m = 7, n = 3), (m = 2, n = 5)\).

Значит, существует 3 способа, которыми Катя может рассчитаться за брошюру, не получая сдачи.

Ответ: тремя способами.