ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 28.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Ученикам 7 класса на математическом конкурсе предложили решить задачи по алгебре и по геометрии. За каждую правильно решённую задачу по алгебре начислялось 2 балла, а за задачу по геометрии — 3 балла. Максимальное количество набранных баллов могло составить 24. Сколько было предложено задач отдельно по алгебре и по геометрии, если по каждому из этих предметов была хотя бы одна задача? Найдите все возможные ответы.

Пусть было \(a\) задач по алгебре и \(b\) задач по геометрии.

Тогда:

\(2a + 3b = 24\)

\(2a = 24 — 3b\)

\(a = \frac{24 — 3b}{2}.\)

Выражение \((24 — 3b)\) должно делиться нацело на 2,

причем \(0 < a \le 10\) и \(0 < b \le 7\):

\(24 — 3b = 2\)

\(3b = 22\) не подходит;

\(24 — 3b = 4\)

\(3b = 20\) не подходит;

\(24 — 3b = 6\)

\(3b = 18\)

\(b = 6\);

\(24 — 3b = 8\)

\(3b = 16\) не подходит;

\(24 — 3b = 10\)

\(3b = 14\) не подходит;

\(24 — 3b = 12\)

\(3b = 12\)

\(b = 4\);

\(24 — 3b = 14\)

\(3b = 10\) не подходит;

\(24 — 3b = 16\)

\(3b = 8\) не подходит;

\(24 — 3b = 18\)

\(3b = 6\)

\(b = 2\);

\(24 — 3b = 20\)

\(3b = 4\) не подходит;

\(24 — 3b = 22\)

\(3b = 2\) не подходит;

\(24 — 3b = 24\)

\(3b = 0\) не подходит.

При \(b = 2, \qquad a = 9;\)

при \(b = 3, \qquad a = 7;\)

при \(b = 5, \qquad a = 2.\)

Значит, было предложено 9 задач по алгебре и 2 по геометрии, или 6 задач по алгебре и 4 по геометрии, или 3 задачи по алгебре и 6 по геометрии.

Ответ: 9 задач по алгебре и 2 по геометрии, или 6 задач по алгебре и 4 по геометрии, или 3 задачи по алгебре и 6 по геометрии.

Обозначим количество задач по алгебре как \(a\), а количество задач по геометрии как \(b\).

Каждая задача по алгебре даёт 2 балла, а каждая задача по геометрии даёт 3 балла. Сумма баллов за все задачи равна 24, следовательно, у нас есть следующее уравнение:

\(2a + 3b = 24\)

Нам нужно найти такие целые значения \(a\) и \(b\), которые удовлетворяют этому уравнению, при этом \(a \geq 1\) и \(b \geq 1\) (по условию задачи по каждому из предметов должна быть хотя бы одна задача).

1. Выразим \(a\) через \(b\):

\(2a = 24 — 3b\)

\(a = \frac{24 — 3b}{2}.\)

Чтобы \(a\) было целым числом, выражение \((24 — 3b)\) должно быть чётным. Рассмотрим различные значения для \(b\) и проверим, когда \((24 — 3b)\) делится на 2.

2. Подставим возможные значения \(b\), начиная с \(b = 1\) и увеличивая \(b\) по одному до тех пор, пока сумма баллов не превысит 24.

При \(b = 1\):

\(a = \frac{24 — 3 \cdot 1}{2} = \frac{24 — 3}{2} = \frac{21}{2}\), не целое число, следовательно, решение для \(b = 1\) нет.

При \(b = 2\):

\(a = \frac{24 — 3 \cdot 2}{2} = \frac{24 — 6}{2} = \frac{18}{2} = 9\), целое число. Таким образом, при \(b = 2\) и \(a = 9\) существует решение.

При \(b = 3\):

\(a = \frac{24 — 3 \cdot 3}{2} = \frac{24 — 9}{2} = \frac{15}{2}\), не целое число, следовательно, решение для \(b = 3\) нет.

При \(b = 4\):

\(a = \frac{24 — 3 \cdot 4}{2} = \frac{24 — 12}{2} = \frac{12}{2} = 6\), целое число. Таким образом, при \(b = 4\) и \(a = 6\) существует решение.

При \(b = 5\):

\(a = \frac{24 — 3 \cdot 5}{2} = \frac{24 — 15}{2} = \frac{9}{2}\), не целое число, следовательно, решение для \(b = 5\) нет.

При \(b = 6\):

\(a = \frac{24 — 3 \cdot 6}{2} = \frac{24 — 18}{2} = \frac{6}{2} = 3\), целое число. Таким образом, при \(b = 6\) и \(a = 3\) существует решение.

При \(b = 7\):

\(a = \frac{24 — 3 \cdot 7}{2} = \frac{24 — 21}{2} = \frac{3}{2}\), не целое число, следовательно, решение для \(b = 7\) нет.

3. Таким образом, решения у нас есть только для \(b = 2\), \(b = 4\), и \(b = 6\). Пары \((a; b)\), которые удовлетворяют уравнению \(2a + 3b = 24\) и условиям задачи, следующие:

\((a = 9, b = 2)\) — 9 задач по алгебре и 2 задачи по геометрии.

\((a = 6, b = 4)\) — 6 задач по алгебре и 4 задачи по геометрии.

\((a = 3, b = 6)\) — 3 задачи по алгебре и 6 задач по геометрии.

Ответ: 9 задач по алгебре и 2 по геометрии, или 6 задач по алгебре и 4 по геометрии, или 3 задачи по алгебре и 6 по геометрии.