ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 28.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(x^2 + 10y + 30 = 10x — y^2 — 20\)

2) \(4x^2 + y^2 + 4x = 2y — 3\)

1) \(x^2 + 10y + 30 = 10x — y^2 — 20\)

\(x^2 + 10y + 30 — 10x + y^2 + 20 = 0\)

\(x^2 — 10x + 25 + y^2 + 10y + 25 = 0\)

\((x — 5)^2 + (y + 5)^2 = 0\)

\((x — 5)^2 = 0\) и \((y + 5)^2 = 0\)

\(x — 5 = 0 \qquad y + 5 = 0\)

\(x = 5 \qquad y = -5.\)

Ответ: \((5; -5).\)

2) \(4x^2 + y^2 + 4x = 2y — 3\)

\(4x^2 + 4x + y^2 — 2y + 3 = 0\)

\(4x^2 + 4x + 1 + y^2 — 2y + 1 + 1 = 0\)

\((2x + 1)^2 + (y — 1)^2 + 1 = 0\)

\((2x + 1)^2 + (y — 1)^2 = -1 \Longrightarrow\) решений нет, так как \((2x + 1)^2 \geq 0\) и \((y — 1)^2 \geq 0\), а \((-1) < 0.\)

Ответ: решений нет.

1) \(x^2 + 10y + 30 = 10x — y^2 — 20\)

Переносим все члены на одну сторону:

\(x^2 + 10y + 30 — 10x + y^2 + 20 = 0\)

Группируем подобные выражения:

\(x^2 — 10x + 25 + y^2 + 10y + 25 = 0\)

Замечаем, что \(x^2 — 10x + 25\) — это полный квадрат \((x — 5)^2\), а \(y^2 + 10y + 25\) — это полный квадрат \((y + 5)^2\):

\((x — 5)^2 + (y + 5)^2 = 0\)

Так как сумма двух квадратов равна нулю, оба квадрата должны быть равны нулю. Следовательно, \((x — 5)^2 = 0\) и \((y + 5)^2 = 0\):

\(x — 5 = 0 \qquad y + 5 = 0\)

\(x = 5 \qquad y = -5.\)

Ответ: \((5; -5)\).

2) \(4x^2 + y^2 + 4x = 2y — 3\)

Переносим все члены на одну сторону:

\(4x^2 + 4x + y^2 — 2y + 3 = 0\)

Теперь группируем выражения, содержащие \(x\) и \(y\):

\(4x^2 + 4x + 1 + y^2 — 2y + 1 + 1 = 0\)

Замечаем, что \(4x^2 + 4x + 1\) — это полный квадрат \((2x + 1)^2\), а \(y^2 — 2y + 1\) — это полный квадрат \((y — 1)^2\):

\((2x + 1)^2 + (y — 1)^2 + 1 = 0\)

Так как \((2x + 1)^2 \ge 0\) и \((y — 1)^2 \ge 0\), а сумма этих квадратов не может быть отрицательной, то уравнение не имеет решений, так как не может быть равна \(-1\).

Ответ: решений нет.