ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 28.43 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Можно ли утверждать, что при любом натуральном чётном значении n значение выражения \( (5n + 10)^2 — (2n + 4)^2 \) делится нацело на 84?

\( (5n + 10)^2 — (2n + 4)^2 = 25n^2 + 100n + 100 — 4n^2 — 16n — 16 = \)

\( = 21n^2 + 84n + 84 = 21(n^2 + 4n + 4) = 21(n + 2)^2. \)

Если \( n \) — нечетное число, то \( (n + 2) \) — нечетное число, тогда квадрат нечетного числа равен нечетному числу. Значит, произведение числа 21 и нечетного числа не делится на 84 (четное число).

Если \( n \) — четное число, то \( (n + 2) \) — четное число, причем \( n + 2 = 2k \), где \( k \) — любое натуральное число, тогда квадрат четного числа равен четному числу. Значит, произведение числа 21 и четного числа делится нацело на 84:

\( (n + 2)^2 = (2k)^2 = 4k^2; \)

\( 21(n + 2)^2 = 21 \cdot 4k^2 = 84k^2 \rightarrow \) делится нацело на 84.

Следовательно, можно утверждать, что при любом натуральном четном значении \( n \) значение данного выражения делится нацело на 84.

Ответ: можно утверждать.

Можно ли утверждать, что при любом натуральном чётном значении \( n \) значение выражения \( (5n + 10)^2 — (2n + 4)^2 \) делится нацело на 84?

Шаг 1: Раскроем скобки в выражении \( (5n + 10)^2 — (2n + 4)^2 \). Для этого применим формулу разности квадратов: \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \), где \( a = 5n + 10 \), а \( b = 2n + 4 \).

Таким образом, выражение можно переписать как:

\( (5n + 10)^2 — (2n + 4)^2 = \left( (5n + 10) — (2n + 4) \right) \left( (5n + 10) + (2n + 4) \right) \)

Шаг 2: Упростим каждую из скобок:

\( (5n + 10) — (2n + 4) = 5n + 10 — 2n — 4 = 3n + 6 \)

\( (5n + 10) + (2n + 4) = 5n + 10 + 2n + 4 = 7n + 14 \)

Теперь подставим упрощённые выражения обратно:

\( (5n + 10)^2 — (2n + 4)^2 = (3n + 6)(7n + 14) \)

Шаг 3: Теперь упростим произведение \( (3n + 6)(7n + 14) \). Раскроем скобки:

\( (3n + 6)(7n + 14) = 3n \cdot 7n + 3n \cdot 14 + 6 \cdot 7n + 6 \cdot 14 \)

\( = 21n^2 + 42n + 42n + 84 \)

\( = 21n^2 + 84n + 84 \)

Шаг 4: Получили выражение \( 21n^2 + 84n + 84 \). Теперь нужно проверить, делится ли это выражение на 84 при любом натуральном чётном значении \( n \).

Шаг 5: Вынесем общий множитель 21 за скобки:

\( 21n^2 + 84n + 84 = 21(n^2 + 4n + 4) \)

\( = 21(n + 2)^2 \)

Шаг 6: Теперь рассмотрим, что происходит с выражением \( 21(n + 2)^2 \) при чётных значениях \( n \). Если \( n \) — чётное, то \( (n + 2) \) тоже будет чётным числом, так как сумма чётного числа и 2 всегда остаётся чётной.

Пусть \( n = 2k \), где \( k \) — натуральное число. Тогда \( (n + 2) = 2k + 2 = 2(k + 1) \), и следовательно, \( (n + 2)^2 = (2(k + 1))^2 = 4(k + 1)^2 \). Таким образом, выражение становится:

\( 21(n + 2)^2 = 21 \cdot 4(k + 1)^2 = 84(k + 1)^2 \)

Шаг 7: Мы видим, что \( 21(n + 2)^2 \) делится на 84, так как оно равно \( 84(k + 1)^2 \), что является чётным числом, делящимся на 84.

Шаг 8: Следовательно, можно утверждать, что при любом натуральном чётном значении \( n \) значение выражения \( (5n + 10)^2 — (2n + 4)^2 \) делится нацело на 84.

Ответ: можно утверждать.