ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 29.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что прямые 5y — x = 6 и 3x — 7y = 6 пересекаются в точке A (9; 3).

Выразим \( x \) из первого уравнения:

\( 5y — x = 6 \)

\( x = 5y — 6. \)

Выразим \( x \) из второго уравнения:

\( 3x — 7y = 6 \)

\( 3x = 6 + 7y \)

\( x = 2 + \frac{7}{3}y. \)

Приравняем полученные уравнения:

\( 5y — 6 = 2 + \frac{7}{3}y \)

\( 5y — \frac{7}{3}y = 2 + 6 \)

\( 5y — 2\frac{1}{3}y = 8 \)

\( 2\frac{2}{3}y = 8 \)

\( \frac{8}{3}y = 8 \)

\( y = 8 : \frac{8}{3} = 8 \cdot \frac{3}{8} = 3. \)

\( x = 5y — 6 = 5 \cdot 3 — 6 = 15 — 6 = 9. \)

Значит, точка \( A(9; 3) \) является точкой пересечения данных прямых.

Что и требовалось доказать.

Для доказательства того, что прямые пересекаются в точке \( A(9; 3) \), нужно показать, что координаты точки \( A \) удовлетворяют обоим уравнениям прямых. То есть, подставим \( x = 9 \) и \( y = 3 \) в оба уравнения и проверим, выполняются ли они.

Шаг 1: Проверка первого уравнения \( 5y — x = 6 \):

Подставим \( x = 9 \) и \( y = 3 \) в уравнение:

\( 5 \cdot 3 — 9 = 6 \)

\( 15 — 9 = 6 \)

\( 6 = 6 \)

Это верно, следовательно, точка \( A(9; 3) \) лежит на первой прямой.

Шаг 2: Проверка второго уравнения \( 3x — 7y = 6 \):

Подставим \( x = 9 \) и \( y = 3 \) в уравнение:

\( 3 \cdot 9 — 7 \cdot 3 = 6 \)

\( 27 — 21 = 6 \)

\( 6 = 6 \)

Это тоже верно, следовательно, точка \( A(9; 3) \) лежит и на второй прямой.

Заключение:

Так как точка \( A(9; 3) \) удовлетворяет обоим уравнениям прямых, то прямые \( 5y — x = 6 \) и \( 3x — 7y = 6 \) действительно пересекаются в точке \( A(9; 3) \).

Что и требовалось доказать.