ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 29.50 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сколько существует пар простых чисел (x; у), являющихся решениями уравнения 5x — 6у = 3?

\( 5x — 6y = 3,  \quad если  (x; y) \) — пара простых чисел.

\( 6y = 5x — 3 \)

\( y = \frac{5}{6}x — \frac{3}{6} \)

\( y = \frac{5}{6}x — \frac{1}{2}. \)

Если \( x = 3,  \quad  y = \frac{5}{6} \cdot 3 — \frac{1}{2} = \frac{5}{2} — \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2. \)

Следовательно, существует одна пара простых чисел \( (3; 2), \) являющаяся решением уравнения \( 5x — 6y = 3. \)

Ответ: одна пара: \( (3; 2). \)

Для начала, представим уравнение в виде:

\( 5x — 6y = 3. \)

Наша цель — найти такие целые значения \( x \) и \( y \), которые являются простыми числами и удовлетворяют этому уравнению.

Шаг 1: Преобразование уравнения.

Для того чтобы выразить \( y \) через \( x \), преобразуем уравнение следующим образом:

\( 6y = 5x — 3, \)

\( y = \frac{5}{6}x — \frac{3}{6}, \)

или проще:

\( y = \frac{5}{6}x — \frac{1}{2}. \)

Шаг 2: Проверка целых значений \( y \) для целых значений \( x \).

Чтобы \( y \) было целым числом, выражение \( \frac{5}{6}x — \frac{1}{2} \) должно быть целым. Это возможно только в том случае, если \( x \) будет таким числом, которое обеспечит целое значение для \( y \).

Подставим различные простые числа для \( x \) и проверим, получим ли простые числа для \( y \).

Шаг 3: Подставляем значение \( x = 3 \):

Подставим \( x = 3 \) в уравнение для \( y \):

\( y = \frac{5}{6} \cdot 3 — \frac{1}{2} = \frac{15}{6} — \frac{1}{2} = \frac{5}{2} — \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2. \)

Таким образом, для \( x = 3 \) получаем \( y = 2 \), и эта пара \( (3, 2) \) является решением уравнения, так как и 3, и 2 — простые числа.

Шаг 4: Проверка других значений для \( x \).

Для других простых чисел, например \( x = 5 \), подставим в уравнение для \( y \):

\( y = \frac{5}{6} \cdot 5 — \frac{1}{2} = \frac{25}{6} — \frac{1}{2}. \)

Это выражение не даёт целого числа для \( y \), так как дробь \( \frac{25}{6} — \frac{1}{2} \) не может быть сокращена до целого числа. Поэтому \( x = 5 \) не даёт решения в виде простого числа для \( y \).

Шаг 5: Заключение.

Из рассмотрения различных значений \( x \) можно сделать вывод, что существует только одна пара простых чисел \( (x, y) \), которая является решением уравнения \( 5x — 6y = 3 \), а именно пара \( (3; 2) \).

Ответ: Существует одна пара простых чисел, являющаяся решением уравнения: \( (3; 2) \).