ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 29.52 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения \( 2^{36} + 4^{100} — 2^{32} — 4^{98} \) кратно числу:

1) 15;

2) 240.

\( 2^{36} + 4^{100} — 2^{32} — 4^{98} = (2^{36} — 2^{32}) + (4^{100} — 4^{98}) = \)

\( = 2^{32} \cdot (2^4 — 1) + 4^{98} \cdot (4^2 — 1) = 2^{32} \cdot (16 — 1) + 4^{98} \cdot (16 — 1) = \)

\( = 2^{32} \cdot 15 + 4^{98} \cdot 15; \)

1) \( 2^{32} \cdot 15 + 4^{98} \cdot 15 = 15 \cdot (2^{32} + 4^{98}) \to \) кратно 15.

2) \( 2^{32} \cdot 15 + 4^{98} \cdot 15 = 15 \cdot (2^{32} + 4^{98}) = 15 \cdot \left(2^{32} + (2^2)^{98}\right) = \)

\( = 15 \cdot (2^{32} + 2^{196}) = 15 \cdot 2^4 \cdot (2^{28} + 2^{192}) = 15 \cdot 16 \cdot (2^{28} + 2^{192}) = \)

\( = 240 \cdot (2^{28} + 2^{192}) \to \) кратно 240.

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим выражение:

\( 2^{36} + 4^{100} — 2^{32} — 4^{98}. \)

Приведем его к более удобному виду:

\( (2^{36} — 2^{32}) + (4^{100} — 4^{98}). \)

Далее, раскроем скобки, используя свойства степеней:

\( 2^{36} — 2^{32} = 2^{32} \cdot (2^4 — 1) = 2^{32} \cdot 15, \)

\( 4^{100} — 4^{98} = 4^{98} \cdot (4^2 — 1) = 4^{98} \cdot 15. \)

Теперь перепишем исходное выражение:

\( 2^{36} + 4^{100} — 2^{32} — 4^{98} = 2^{32} \cdot 15 + 4^{98} \cdot 15 = 15 \cdot (2^{32} + 4^{98}). \)

1) Рассмотрим первое требование: нужно доказать, что выражение кратно 15.

Мы видим, что весь результат выражения умножен на 15:

\( 15 \cdot (2^{32} + 4^{98}). \)

Это доказывает, что выражение действительно кратно 15, так как выражение в скобках может быть любым числом, а умножение на 15 гарантирует кратность 15.

Ответ 1: Да, выражение кратно 15.

2) Рассмотрим, что нужно доказать, что выражение также кратно 240.

Перепишем выражение в виде:

\( 15 \cdot (2^{32} + 4^{98}). \)

Для того чтобы доказать, что выражение кратно 240, необходимо показать, что оно делится на 240. Раскроем 240 как произведение простых множителей:

\( 240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5. \)

Мы уже доказали, что выражение кратно 15, то есть оно делится на 3 и на 5. Теперь нужно доказать, что оно делится на \( 2^4 = 16 \).

Прежде чем доказать это, рассмотрим, что \( 4^{98} = (2^2)^{98} = 2^{196} \), и \( 2^{32} \) — это степень числа 2. Таким образом, оба слагаемых \( 2^{32} \) и \( 4^{98} \) делятся на \( 2^4 \).

Таким образом, выражение \( 2^{32} + 4^{98} \) делится на \( 2^4 = 16 \), и следовательно, вся сумма \( 15 \cdot (2^{32} + 4^{98}) \) делится на \( 2^4 \), а значит, на 240.

Ответ 2: Да, выражение кратно 240.

Заключение: Мы доказали, что выражение \( 2^{36} + 4^{100} — 2^{32} — 4^{98} \) кратно числам 15 и 240.