ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 29.54 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители:

1) \( 6x^3 — 8x^2 + 3xy — 4y \)

2) \( x^4 — 6x^2 y + 9y^2 — 16 \)

3) \( \frac{125x^3}{27} — \frac{m^6 n^9}{64} \)

4) \( c^2 — 2c — b^2 — 4b — 3 \)

1) \( 6x^3 — 8x^2 + 3xy — 4y = 2x^2(3x — 4) + y(3x — 4) = \)

\( = (3x — 4)(2x^2 + y); \)

2) \( x^4 — 6x^2y + 9y^2 — 16 = (x^4 — 6x^2y + 9y^2) — 16 = \)

\( = (x^2 — 3y)^2 — 4^2 = (x^2 — 3y — 4)(x^2 — 3y + 4); \)

3) \( \frac{125x^3}{27} — \frac{m^6n^9}{64} = \left(\frac{5x}{3}\right)^3 — \left(\frac{m^2n^3}{4}\right)^3 = \)

\( = \left(\frac{5x}{3} — \frac{m^2n^3}{4}\right)\left(\frac{25x^2}{9} + \frac{5xm^2n^3}{12} + \frac{m^4n^6}{16}\right); \)

4) \( c^2 — 2c — b^2 — 4b — 3 = c^2 — 2c + 1 — b^2 — 4b — 4 = \)

\( = (c^2 — 2c + 1) — (b^2 + 4b + 4) = (c — 1)^2 — (b + 2)^2 = \)

\( = (c — 1 — b — 2)(c — 1 + b + 2) = (c — b — 3)(c + b + 1). \)

1) Разложение на множители выражения \( 6x^3 — 8x^2 + 3xy — 4y \):

Первым шагом сгруппируем элементы с общими множителями:

\( (6x^3 — 8x^2) + (3xy — 4y). \)

Теперь вынесем общий множитель из каждой группы:

\( 2x^2(3x — 4) + y(3x — 4). \)

Теперь можно вынести общий множитель \( (3x — 4) \):

\( (3x — 4)(2x^2 + y). \)

Ответ: \( (3x — 4)(2x^2 + y) \).

2) Разложение на множители выражения \( x^4 — 6x^2 y + 9y^2 — 16 \):

Группируем элементы:

\( (x^4 — 6x^2 y + 9y^2) — 16. \)

Рассмотрим первую часть \( x^4 — 6x^2 y + 9y^2 \) как полный квадрат бинома:

\( (x^2 — 3y)^2. \)

Теперь получаем разность квадратов:

\( (x^2 — 3y)^2 — 4^2. \)

Используем формулу разности квадратов \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \):

\( (x^2 — 3y — 4)(x^2 — 3y + 4). \)

Ответ: \( (x^2 — 3y — 4)(x^2 — 3y + 4) \).

3) Разложение на множители выражения \( \frac{125x^3}{27} — \frac{m^6 n^9}{64} \):

Мы видим, что это разность кубов. Напоминаем, что разность кубов раскладывается по формуле: \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \).

Запишем выражение как разность кубов:

\( \left(\frac{5x}{3}\right)^3 — \left(\frac{m^2 n^3}{4}\right)^3. \)

Теперь применим формулу разности кубов:

\( \left(\frac{5x}{3} — \frac{m^2 n^3}{4}\right)\left(\left(\frac{5x}{3}\right)^2 + \frac{5x}{3} \cdot \frac{m^2 n^3}{4} + \left(\frac{m^2 n^3}{4}\right)^2\right). \)

Упростим выражение:

\( = \left(\frac{5x}{3} — \frac{m^2 n^3}{4}\right)\left(\frac{25x^2}{9} + \frac{5xm^2 n^3}{12} + \frac{m^4 n^6}{16}\right). \)

Ответ: \( \left(\frac{5x}{3} — \frac{m^2 n^3}{4}\right)\left(\frac{25x^2}{9} + \frac{5xm^2n^3}{12} + \frac{m^4n^6}{16}\right). \)

4) Разложение на множители выражения \( c^2 — 2c — b^2 — 4b — 3 \):

Группируем элементы, чтобы выделить полные квадраты:

\( (c^2 — 2c + 1) — (b^2 + 4b + 4) — 3. \)

Теперь каждую группу приводим к квадратам:

\( (c — 1)^2 — (b + 2)^2 — 3. \)

Это разность квадратов, и применяем формулу разности квадратов:

\( (c — 1)^2 — (b + 2)^2 = (c — 1 — (b + 2))(c — 1 + (b + 2)) \).

Упростим выражение:

\( (c — b — 3)(c + b + 1). \)

Ответ: \( (c — b — 3)(c + b + 1). \)