ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 3.52 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Имеет ли уравнение корни:

1) х² = 0;

2) х² = -1;

3) |x| = х;

4) |x| = -х?

1) \(x^2 = 0 \Longrightarrow x = 0\).

2) \(x^2 = -1 \Longrightarrow\) корней нет, так как \(x^2 \geq 0\).

3) \(|x| = x \Longrightarrow x\) — любое неотрицательное число.

4) \(|x| = -x \Longrightarrow x\) — любое неположительное число.

1) Уравнение \(x^2 = 0\)

Рассмотрим уравнение:

\(x^2 = 0\)

Возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как квадрат любого числа неотрицателен, получаем:

\(\sqrt{x^2} = \sqrt{0} \Rightarrow |x| = 0\)

Из этого следует:

\(x = 0\)

Проверка: подставим \(x = 0\) в исходное уравнение:

\(0^2 = 0 \Rightarrow 0 = 0\)

Уравнение имеет один корень: \(x = 0\).

2) Уравнение \(x^2 = -1\)

Рассмотрим уравнение:

\(x^2 = -1\)

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть для любого \(x \in \mathbb{R}\) выполняется \(x^2 \geq 0\).

Так как \(-1 < 0\), уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, корней нет.

3) Уравнение \(|x| = x\)

Рассмотрим определение модуля:

\(|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}\)

Если \(|x| = x\), то это соответствует случаю \(x \geq 0\).

Следовательно, решением являются все неотрицательные числа:

\(x \geq 0\)

Проверка: для \(x = 0\), \(|0| = 0\), верно. Для \(x = 5\), \(|5| = 5\), верно. Для \(x = -3\), \(|-3| = 3 \neq -3\), не верно.

Ответ: любое неотрицательное число.

4) Уравнение \(|x| = -x\)

Снова используем определение модуля:

\(|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}\)

Если \(|x| = -x\), то это соответствует случаю \(x < 0\) и также верно для \(x = 0\) (так как \(|0| = 0 = -0\)).

Следовательно, решением являются все неположительные числа:

\(x \leq 0\)

Проверка: для \(x = 0\), \(|0| = 0 = -0\), верно. Для \(x = -4\), \(|-4| = 4 = -(-4) = 4\), верно. Для \(x = 3\), \(|3| = 3 \neq -3\), не верно.

Ответ: любое неположительное число.