ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 3.53 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Может ли быть целым числом значение выражения:

1) \(\frac{1}{x}\);

2) \(\frac{x}{x + 1}\)?

1) \(\frac{1}{x} ⇒\) значение выражения может быть целым числом, если \(x = \frac{1}{n}\), где \(n\) — целое число и \(n \neq 0\), тогда \(\frac{1}{\frac{1}{n}} = 1 \cdot \frac{n}{1} = n\).

2) \(\frac{x}{x + 1} ⇒\) значение выражения может быть целым числом, при \(x = -2\), тогда \(\frac{-2}{-2 + 1} = \frac{-2}{-1} = 2\).

1) \(\frac{1}{x}\)

Рассмотрим выражение \(\frac{1}{x}\) и зададим вопрос: при каких значениях \(x\) это выражение может быть целым числом.

Обозначим целое число через \(n\). Тогда имеем уравнение:

\(\frac{1}{x} = n\)

Чтобы найти \(x\), нужно выразить его через \(n\). Домножим обе части на \(x\):

\(1 = n \cdot x\)

Разделим обе части на \(n\), учитывая, что \(n \neq 0\), иначе деление невозможно:

\(x = \frac{1}{n}\)

Вывод: \(\frac{1}{x}\) может быть целым числом тогда и только тогда, когда \(x\) имеет вид \(\frac{1}{n}\), где \(n\) — любое целое число, кроме нуля.

Проверка: подставим \(x = \frac{1}{n}\) в исходное выражение:

\(\frac{1}{\frac{1}{n}} = 1 \cdot \frac{n}{1} = n\), что действительно является целым числом.

2) \(\frac{x}{x+1}\)

Рассмотрим выражение \(\frac{x}{x+1}\) и зададим вопрос: при каких значениях \(x\) это выражение может быть целым числом.

Пусть целое число равно \(n\). Тогда имеем уравнение:

\(\frac{x}{x+1} = n\)

Умножим обе части на \(x + 1\) (при этом \(x \neq -1\), иначе деление невозможно):

\(x = n \cdot (x + 1)\)

Раскроем скобки справа:

\(x = n \cdot x + n\)

Переносим \(n \cdot x\) влево:

\(x — n \cdot x = n\)

Вынесем \(x\) за скобки:

\(x \cdot (1 — n) = n\)

Разделим обе части на \(1 — n\), при условии, что \(n \neq 1\) (иначе деление на ноль):

\(x = \frac{n}{1 — n}\)

Вывод: \(\frac{x}{x+1}\) может быть целым числом, если \(x\) имеет вид \(\frac{n}{1 — n}\), где \(n\) — целое число, отличное от 1.

Пример: пусть \(n = 2\), тогда:

\(x = \frac{2}{1 — 2} = \frac{2}{-1} = -2\)

Проверим исходное выражение:

\(\frac{-2}{-2 + 1} = \frac{-2}{-1} = 2\), что является целым числом.