ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 30.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Имеет ли решение система уравнений:

1) \( \begin{cases} 2x — 7y = 6 \\ 8x — 28y = 24 \end{cases}\)

2) \( \begin{cases} 2x + y = -2 \\ 6x + 3y = 9 \end{cases}  \)

3) \( \begin{cases} x + 2y = 0,5 \\ 2x + 4y = 2 \end{cases} \)

1) \( \begin{cases} 2x — 7y = 6 \\ 8x — 28y = 24 \end{cases} \quad | : 4 \)

\( \begin{cases} 2x — 7y = 6 \\ 2x — 7y = 6 \end{cases} \).

Данные прямые совпадают, значит, система уравнений имеет бесконечно много решений.

2) \( \begin{cases} 2x + y = -2 \\ 6x + 3y = 9 \end{cases} \quad | : 3 \)

\( \begin{cases} 2x + y = -2 \\ 2x + y = 3 \end{cases} \).

Данные прямые параллельны, значит, система уравнений не имеет решений.

3) \( \begin{cases} x + 2y = 0,5 \\ 2x + 4y = 2 \end{cases} \quad | \cdot 2 \)

\( \begin{cases} 2x + 4y = 1 \\ 2x + 4y = 2 \end{cases} \).

Данные прямые параллельны, значит, система уравнений не имеет решений.

1) \( \begin{cases} 2x — 7y = 6 \\ 8x — 28y = 24 \end{cases} \quad | : 4 \)

Для начала, давайте рассмотрим оба уравнения системы. Первое уравнение: \( 2x — 7y = 6 \). Второе уравнение: \( 8x — 28y = 24 \). Мы видим, что второе уравнение можно упростить, разделив его на 4:

\( \frac{8x — 28y}{4} = \frac{24}{4} \Rightarrow 2x — 7y = 6 \).

Таким образом, мы получаем, что второе уравнение идентично первому, то есть:

\( \begin{cases} 2x — 7y = 6 \\ 2x — 7y = 6 \end{cases} \).

Мы видим, что данные уравнения совпадают. Это означает, что система уравнений не имеет двух различных прямых, а одна и та же прямая записана дважды. Все точки, которые лежат на этой прямой, являются решениями системы. Таким образом, система уравнений имеет бесконечно много решений, так как каждая пара значений \( x \) и \( y \), удовлетворяющая первому уравнению, будет также удовлетворять второму.

Ответ: система уравнений имеет бесконечно много решений.

2) \( \begin{cases} 2x + y = -2 \\ 6x + 3y = 9 \end{cases} \quad | : 3 \)

Теперь рассмотрим вторую систему уравнений. Поделим второе уравнение на 3, чтобы привести его к аналогичной форме с первым уравнением:

\( \frac{6x + 3y}{3} = \frac{9}{3} \Rightarrow 2x + y = 3 \).

Теперь у нас есть система:

\( \begin{cases} 2x + y = -2 \\ 2x + y = 3 \end{cases} \).

Мы видим, что это система, в которой обе прямые имеют одинаковые коэффициенты при \( x \) и \( y \), но разные свободные члены. Это означает, что прямые параллельны, так как они имеют одинаковые наклоны, но разные пересечения с осью \( y \). Первая прямая пересекает ось \( y \) в точке \( -2 \), а вторая прямая пересекает ось \( y \) в точке \( 3 \). Параллельные прямые не имеют общих точек, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система уравнений не имеет решений.

3) \( \begin{cases} x + 2y = 0,5 \\ 2x + 4y = 2 \end{cases} \quad | \cdot 2 \)

Теперь рассмотрим третью систему. Умножим первое уравнение на 2:

\( 2(x + 2y) = 2 \cdot 0,5 \Rightarrow 2x + 4y = 1 \).

Теперь у нас есть система:

\( \begin{cases} 2x + 4y = 1 \\ 2x + 4y = 2 \end{cases} \).

Здесь мы видим, что у нас снова система с одинаковыми коэффициентами при \( x \) и \( y \), но с разными свободными членами. Это значит, что эти две прямые параллельны и не пересекаются. Первая прямая пересекает ось \( y \) в точке \( 1 \), а вторая прямая пересекает ось \( y \) в точке \( 2 \). Параллельные прямые не имеют общих точек, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система уравнений не имеет решений.