ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 30.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

К уравнению х — у = 2 подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнении, которая:

1) имеет единственное решение;

2) имеет бесконечно много решений;

3) не имеет решений.

1) Система уравнений имеет единственное решение:

\( \begin{cases} x — y = 2 \\ 5x + 2y = 3 \end{cases} \).

2) Система уравнений имеет бесконечно много решений:

\( \begin{cases} x — y = 2 \\ 0,5x — 0,5y = 1 \end{cases} \).

3) Система уравнений не имеет решений:

\( \begin{cases} x — y = 2 \\ 3x — 3y = 9 \end{cases} \).

К уравнению \( x — y = 2 \) подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнений, которая:

1) имеет единственное решение:

Для того чтобы система имела единственное решение, второе уравнение должно быть независимым, то есть оно должно представлять собой прямую, которая пересекает первую прямую в одной точке. Подберем второе уравнение, которое будет линейным и не будет совпадать с первым уравнением. Например, пусть это будет:

\( 5x + 2y = 3 \).

Теперь у нас есть система:

\( \begin{cases} x — y = 2 \\ 5x + 2y = 3 \end{cases} \).

Чтобы система имела единственное решение, прямые, заданные этими уравнениями, должны пересекаться в одной точке. Это возможно, потому что коэффициенты при \( x \) и \( y \) в обоих уравнениях разные, что значит, что прямые не параллельны и не совпадают.

Ответ: система уравнений имеет единственное решение, так как прямые пересекаются в одной точке.

2) имеет бесконечно много решений:

Для того чтобы система имела бесконечно много решений, оба уравнения должны описывать одну и ту же прямую. То есть второе уравнение должно быть пропорционально первому. Подберем второе уравнение, которое будет пропорционально первому:

\( 0,5x — 0,5y = 1 \).

Теперь у нас есть система:

\( \begin{cases} x — y = 2 \\ 0,5x — 0,5y = 1 \end{cases} \).

Это система, где второе уравнение является половиной первого уравнения. Прямые, заданные этими уравнениями, совпадают, так как уравнения одинаковы, только второе уравнение масштабировано. Следовательно, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: система уравнений имеет бесконечно много решений, так как прямые совпадают.

3) не имеет решений:

Для того чтобы система не имела решений, прямые должны быть параллельны и не пересекаться. Чтобы этого добиться, второе уравнение должно быть пропорционально первому, но с разными свободными членами. Подберем второе уравнение, которое будет пропорционально первому, но с другим свободным членом:

\( 3x — 3y = 9 \).

Теперь у нас есть система:

\( \begin{cases} x — y = 2 \\ 3x — 3y = 9 \end{cases} \).

Это система, где второе уравнение является утроенной версией первого. Прямые, заданные этими уравнениями, параллельны, так как у них одинаковые коэффициенты при \( x \) и \( y \), но различные свободные члены. Параллельные прямые не имеют общих точек, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система уравнений не имеет решений, так как прямые параллельны.