ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 30.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каком значении а имеет бесконечно много решений система уравнений:

1) \( \begin{cases} x + 5y = 4 \\ 4x + 20y = a \end{cases} \)

2) \( \begin{cases} 3x + ay = 12 \\ 9x — 15y = 36 \end{cases}  \)

1) \( \begin{cases} x + 5y = 4 \\ 4x + 20y = a \end{cases} \quad | \cdot 4 \)

\( \begin{cases} 4x + 20y = 16 \\ 4a + 20y = a \end{cases} \).

Значит, при \( a = 16 \) система уравнений имеет бесконечно много решений.

Ответ: при \( a = 16 \).

2) \( \begin{cases} 3x + ay = 12 \\ 9x — 15y = 36 \end{cases} \quad | \cdot 3 \)

\( \begin{cases} 9x + 3ay = 12 \\ 9x — 15y = 36 \end{cases} \).

Значит, при:

\( 3a = -15 \Longrightarrow a = -5 \) система уравнений имеет бесконечно много решений.

Ответ: при \( a = -5 \).

1) \( \begin{cases} x + 5y = 4 \\ 4x + 20y = a \end{cases} \quad | \cdot 4 \)

Рассмотрим оба уравнения системы. Первое уравнение: \( x + 5y = 4 \). Чтобы привести второе уравнение к такому же виду, умножим его на 4:

\( 4x + 20y = a \quad \text{умножим на 4:} \quad 4x + 20y = 16 \).

Теперь у нас есть система:

\( \begin{cases} 4x + 20y = 16 \\ 4a + 20y = a \end{cases} \).

Чтобы эта система имела бесконечно много решений, обе прямые должны совпадать. Для этого уравнения должны быть идентичными, то есть свободные члены должны быть одинаковыми. Следовательно, \( 4a = 16 \). Решим это уравнение для \( a \):

\( 4a = 16 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{16}{4} = 16 \).

Таким образом, система уравнений имеет бесконечно много решений при \( a = 16 \).

Ответ: при \( a = 16 \) система уравнений имеет бесконечно много решений.

2) \( \begin{cases} 3x + ay = 12 \\ 9x — 15y = 36 \end{cases} \quad | \cdot 3 \)

Теперь рассмотрим вторую систему. Первое уравнение: \( 3x + ay = 12 \). Умножим его на 3:

\( 3 \cdot (3x + ay) = 3 \cdot 12 \quad \Rightarrow \quad 9x + 3ay = 36 \).

Теперь у нас есть система:

\( \begin{cases} 9x + 3ay = 12 \\ 9x — 15y = 36 \end{cases} \).

Для того чтобы система имела бесконечно много решений, коэффициенты при \( x \) и \( y \) в обоих уравнениях должны быть пропорциональны. Мы видим, что при \( x \) коэффициенты равны (оба равны 9), но при \( y \) коэффициенты разные: \( 3a \) и \( -15 \). Чтобы эти прямые совпали, нужно, чтобы \( 3a = -15 \). Решим это уравнение для \( a \):

\( 3a = -15 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{-15}{3} = -5 \).

Таким образом, система уравнений имеет бесконечно много решений при \( a = -5 \).

Ответ: при \( a = -5 \) система уравнений имеет бесконечно много решений.