ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 30.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях a система уравнений:

1) \( \begin{cases} 7x — 12y = 14 \\ 7x — 12y = a \end{cases} \) не имеет решений;

2) \( \begin{cases} 6x + ay = 4 \\ 3x — 5y = 2 \end{cases} \quad\) имеет бесконечно много решений?

1) \( \begin{cases} 7x — 12y = 14 \\ 7x — 12y = a \end{cases} \).

Система уравнений не имеет решений при любом \( a \), кроме \( a = 14 \).

Ответ: при \( a \ne 14 \).

2) \( \begin{cases} 6x + ay = 4 \\ 3x — 5y = 2 \end{cases} \quad | \cdot 2 \)

\( \begin{cases} 6x + ay = 4 \\ 6x — 10y = 4 \end{cases} \).

Значит, при \( a = -10 \) система уравнений имеет бесконечно много решений.

Ответ: при \( a = -10 \).

1) Рассмотрим систему уравнений:

\( \begin{cases} 7x — 12y = 14 \\ 7x — 12y = a \end{cases} \).

Чтобы система не имела решений, два уравнения должны представлять собой параллельные прямые, то есть они должны иметь одинаковые коэффициенты при \( x \) и \( y \), но разные свободные члены. Мы видим, что оба уравнения имеют одинаковые коэффициенты при \( x \) и \( y \), но свободные члены в уравнении различны: 14 и \( a \). Следовательно, система не будет иметь решений при любых значениях \( a \), кроме \( a = 14 \), потому что только в этом случае оба уравнения будут представлять одну и ту же прямую.

Ответ: система уравнений не имеет решений при \( a \ne 14 \).

2) Рассмотрим систему уравнений:

\( \begin{cases} 6x + ay = 4 \\ 3x — 5y = 2 \end{cases} \).

Для того чтобы система имела бесконечно много решений, два уравнения должны описывать одну и ту же прямую. Это возможно, если второе уравнение будет пропорционально первому, то есть коэффициенты при \( x \) и \( y \) во втором уравнении должны быть пропорциональны коэффициентам при \( x \) и \( y \) в первом уравнении. Поделим оба уравнения на 3:

Первое уравнение: \( 6x + ay = 4 \) умножим на 2, чтобы привести его к виду второго уравнения:

\( 6x + ay = 4 \quad | \cdot 2 \Rightarrow 6x — 10y = 4 \).

Теперь у нас есть система:

\( \begin{cases} 6x + ay = 4 \\ 6x — 10y = 4 \end{cases} \).

Чтобы эти прямые совпали, коэффициенты при \( y \) в обеих строках должны быть равны. Таким образом, мы имеем следующее условие:

\( a = -10 \).

Ответ: система уравнений имеет бесконечно много решений при \( a = -10 \).