ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 30.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Подберите такие значения а и b, при которых система уравнений \( \begin{cases} x — 2y = 3 \\ ax + 4y = b \end{cases}\):

1) имеет бесконечно много решений;

2) имеет единственное решение;

3) не имеет решений.

\( \begin{cases} x — 2y = 3 \\ ax + 4y = b \end{cases} \quad | \cdot (-2) \)

\( \begin{cases} -2x + 4y = -6 \\ ax + 4y = b \end{cases} \).

1) Система уравнений имеет бесконечно много решений при \( a = -2 \) и \( b = -6 \).

2) Система уравнений имеет единственное решение при \( a \ne -2 \) и \( b \) — любое число.

3) Система уравнений не имеет решений при \( a = -2 \) и \( b \ne -6 \).

Подберите такие значения \( a \) и \( b \), при которых система уравнений:

\( \begin{cases} x — 2y = 3 \\ ax + 4y = b \end{cases} \quad | \cdot (-2) \)

\( \begin{cases} -2x + 4y = -6 \\ ax + 4y = b \end{cases} \).

1) Система уравнений имеет бесконечно много решений.

Для того чтобы система имела бесконечно много решений, прямые, заданные уравнениями, должны совпадать. То есть второе уравнение должно быть пропорционально первому. Из первого уравнения \( x — 2y = 3 \) мы видим, что коэффициенты при \( x \) и \( y \) в правой части равны 1 и -2 соответственно. Умножив первое уравнение на -2, мы получаем второе уравнение: \( -2x + 4y = -6 \).

Таким образом, для того чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно быть точно таким же, как первое, то есть \( a = -2 \) и \( b = -6 \).

Ответ: система уравнений имеет бесконечно много решений при \( a = -2 \) и \( b = -6 \).

2) Система уравнений имеет единственное решение.

Для того чтобы система имела единственное решение, прямые должны пересекаться в одной точке. Это возможно, если коэффициенты при \( x \) и \( y \) в двух уравнениях разные. Если \( a \) не равно -2, то прямые будут иметь разные наклоны и обязательно пересекутся в одной точке. Значение \( b \) не влияет на количество решений, так как оно только сдвигает прямую вверх или вниз, не изменяя её наклон.

Ответ: система уравнений имеет единственное решение при \( a \ne -2 \) и \( b \) — любое число.

3) Система уравнений не имеет решений.

Для того чтобы система не имела решений, прямые должны быть параллельными и не пересекаться. Это возможно, если коэффициенты при \( x \) и \( y \) в обеих прямых одинаковы, но свободные члены разные. Если \( a = -2 \), то прямые будут параллельны, но они не будут совпадать, если \( b \) не равно -6. В этом случае система не будет иметь решений, так как параллельные прямые не пересекаются.

Ответ: система уравнений не имеет решений при \( a = -2 \) и \( b \ne -6 \).