ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 30.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Подберите такие значения m и n, при которых система уравнений \( \begin{cases} x + y = 5 \\ 3x — my = n \end{cases} \):

1) имеет бесконечно много решений;

2) имеет единственное решение;

3) не имеет решений.

\( \begin{cases} x + y = 5 \\ 3x — my = n \end{cases} \quad | \cdot 3 \)

\( \begin{cases} 3x + 3y = 15 \\ 3x — my = n \end{cases} \).

1) Система уравнений имеет бесконечно много решений при \( m = -3 \) и \( n = 15 \).

2) Система уравнений имеет единственное решение при \( m \ne -3 \) и \( n \) — любое число.

3) Система уравнений не имеет решений при \( m = -3 \) и \( n \ne 15 \).

Подберите такие значения \( m \) и \( n \), при которых система уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 5 \\ 3x — my = n \end{cases} \quad | \cdot 3 \)

\( \begin{cases} 3x + 3y = 15 \\ 3x — my = n \end{cases} \).

1) Система уравнений имеет бесконечно много решений.

Рассмотрим первое уравнение: \( x + y = 5 \). Умножим его на 3:

\( 3(x + y) = 3 \cdot 5 \Rightarrow 3x + 3y = 15 \).

Теперь у нас есть система:

\( \begin{cases} 3x + 3y = 15 \\ 3x — my = n \end{cases} \).

Для того чтобы эта система имела бесконечно много решений, оба уравнения должны описывать одну и ту же прямую. Это возможно, если второй коэффициент при \( y \) в обоих уравнениях одинаков, а свободные члены равны. То есть \( m = -3 \) и \( n = 15 \), потому что в этом случае второе уравнение будет совпадать с первым.

Ответ: система уравнений имеет бесконечно много решений при \( m = -3 \) и \( n = 15 \).

2) Система уравнений имеет единственное решение.

Если \( m \ne -3 \), то коэффициенты при \( x \) и \( y \) в обоих уравнениях будут различными, и прямые, заданные этими уравнениями, будут иметь разные наклоны. Это означает, что система уравнений будет иметь единственное решение, так как две прямые пересекаются в одной точке. Значение \( n \) не влияет на количество решений, так как оно только сдвигает прямую вверх или вниз, не изменяя её наклон.

Ответ: система уравнений имеет единственное решение при \( m \ne -3 \) и \( n \) — любое число.

3) Система уравнений не имеет решений.

Когда \( m = -3 \), коэффициенты при \( x \) и \( y \) в обоих уравнениях совпадают. Однако, если \( n \ne 15 \), то прямые будут параллельными, так как у них одинаковые наклоны, но различные свободные члены. Параллельные прямые не пересекаются, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система уравнений не имеет решений при \( m = -3 \) и \( n \ne 15 \).