Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 30.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Найдите четыре последовательных нечётных натуральных числа, сумма квадратов которых равна 164.
Пусть даны четыре последовательных нечетных натуральных числа: \( (2n — 3), (2n — 1), (2n + 1), (2n + 3) \).
\( (2n — 3)^2 + (2n — 1)^2 + (2n + 1)^2 + (2n + 3)^2 = 164 \)
\( 4n^2 — 12n + 9 + 4n^2 — 4n + 1 + 4n^2 + 4n + 1 + 4n^2 + 12n + 9 = 164 \)
\( 16n^2 + 20 = 164 \)
\( 16n^2 = 164 — 20 \)
\( 16n^2 = 144 \)
\( n^2 = 9 \)
\( n = 3 \) или \( n = -3 \to \) не подходит, так как не натуральное.
\( 2n — 3 = 2 \cdot 3 — 3 = 3 \to \) первое число;
\( 2n — 1 = 2 \cdot 3 — 1 = 5 \to \) второе число;
\( 2n + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \to \) третье число;
\( 2n + 3 = 2 \cdot 3 + 3 = 9 \to \) четвертое число.
Ответ: 3, 5, 7 и 9.
Обозначим эти четыре последовательных нечётных числа через \( (2n — 3), (2n — 1), (2n + 1), (2n + 3) \), где \( n \) — некоторое натуральное число. Эти числа будут расположены в порядке возрастания, и они являются последовательными нечётными числами, так как разница между любыми двумя соседними числам составляет 2.
Сначала составим выражение для суммы квадратов этих чисел:
\( (2n — 3)^2 + (2n — 1)^2 + (2n + 1)^2 + (2n + 3)^2 = 164 \)
Теперь раскроем скобки и упростим выражение. Для каждого квадрата будем использовать формулу \( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \), и для каждого члена выражения это будет выглядеть так:
\( (2n — 3)^2 = 4n^2 — 12n + 9 \)
\( (2n — 1)^2 = 4n^2 — 4n + 1 \)
\( (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 \)
\( (2n + 3)^2 = 4n^2 + 12n + 9 \)
Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:
\( (4n^2 — 12n + 9) + (4n^2 — 4n + 1) + (4n^2 + 4n + 1) + (4n^2 + 12n + 9) = 164 \)
Собираем все подобные слагаемые:
\( 4n^2 + 4n^2 + 4n^2 + 4n^2 = 16n^2 \)
\( -12n — 4n + 4n + 12n = 0 \)
\( 9 + 1 + 1 + 9 = 20 \)
Таким образом, уравнение принимает вид:
\( 16n^2 + 20 = 164 \)
Теперь изолируем \( 16n^2 \) на одной стороне уравнения:
\( 16n^2 = 164 — 20 \)
\( 16n^2 = 144 \)
Теперь разделим обе части уравнения на 16:
\( n^2 = \frac{144}{16} = 9 \)
Из этого получаем, что \( n = 3 \), так как \( n \) — натуральное число. Также, \( n = -3 \) не подходит, так как \( n \) должно быть натуральным.
Теперь подставим значение \( n = 3 \) в выражения для чисел:
\( 2n — 3 = 2 \cdot 3 — 3 = 3 \) — первое число;
\( 2n — 1 = 2 \cdot 3 — 1 = 5 \) — второе число;
\( 2n + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \) — третье число;
\( 2n + 3 = 2 \cdot 3 + 3 = 9 \) — четвёртое число.
Ответ: четыре последовательных нечётных числа: 3, 5, 7 и 9.
Проверим, что сумма их квадратов действительно равна 164:
\( 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 = 9 + 25 + 49 + 81 = 164 \)
Таким образом, все вычисления верны, и ответ: 3, 5, 7 и 9.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!