ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 30.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Остаток при делении числа а на 5 равен 4, а остаток при делении на 5 числа b равен 3. Докажите, что значение выражения а² + b² кратно 5.

Известно, что \( a = 5m + 4 \) и \( b = 5n + 3 \).

Тогда:

\( a^2 + b^2 = (5m + 4)^2 + (5n + 3)^2 = 25m^2 + 40m + 16 + 25n^2 + 30n + 9 =\)

\( = 25m^2 + 25n^2 + 40m + 30n + 25 = \)

\( = 5(5m^2 + 5n^2 + 8m + 6n + 5) \to \) кратно 5.

Следовательно, \( (a^2 + b^2) \) кратно 5.

Что и требовалось доказать.

Доказать, что если остаток при делении числа \( a \) на 5 равен 4, а остаток при делении числа \( b \) на 5 равен 3, то значение выражения \( a^2 + b^2 \) кратно 5.

По условию задачи, остаток при делении числа \( a \) на 5 равен 4, это означает, что \( a \) можно представить в виде:

\( a = 5m + 4 \), где \( m \) — некоторое целое число.

Аналогично, остаток при делении числа \( b \) на 5 равен 3, это означает, что \( b \) можно представить как:

\( b = 5n + 3 \), где \( n \) — некоторое целое число.

Теперь нам нужно доказать, что выражение \( a^2 + b^2 \) делится на 5.

Для этого подставим выражения для \( a \) и \( b \) в формулу для суммы квадратов:

\( a^2 + b^2 = (5m + 4)^2 + (5n + 3)^2 \).

Раскроем скобки в каждом квадрате:

\( (5m + 4)^2 = 25m^2 + 40m + 16 \)

\( (5n + 3)^2 = 25n^2 + 30n + 9 \)

Теперь сложим эти два выражения:

\( a^2 + b^2 = 25m^2 + 40m + 16 + 25n^2 + 30n + 9 \)

Упростим это выражение:

\( a^2 + b^2 = 25m^2 + 25n^2 + 40m + 30n + 25 \).

Теперь выделим общий множитель 5 в каждом слагаемом:

\( a^2 + b^2 = 5(5m^2 + 5n^2 + 8m + 6n + 5) \).

Мы видим, что \( a^2 + b^2 \) выражается как произведение 5 на некоторую целую величину, что означает, что выражение \( a^2 + b^2 \) делится на 5.

Следовательно, \( a^2 + b^2 \) кратно 5.

Что и требовалось доказать.