ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 30.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Определите координаты точки пересечения прямых, изображённых на рисунке 30.3. Запишите соответствующую систему уравнений, проверьте найденное решение системы, подставив координаты точки пересечения прямых в уравнения системы.

a) Прямые пересекаются в точке с координатой \( (1; 4) \).

\( \begin{cases} x + y = 5 \\ 3x + y = 7 \end{cases} \).

Проверим:

\( \begin{cases} 1 + 4 = 5 \\ 3 \cdot 1 + 4 = 7 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5 = 5 \\ 7 = 7 \end{cases} \Longrightarrow \) верно.

б) Прямые пересекаются в точке с координатой \( (-1; -1) \).

\( \begin{cases} y + 2x = -3 \\ -2x + y = 1 \end{cases} \).

Проверим:

\( \begin{cases} -1 + 2 \cdot (-1) = -3 \\ -2 \cdot (-1) — 1 = 1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -1 — 2 = -3 \\ 2 — 1 = 1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -3 = -3 \\ 1 = 1 \end{cases} \Longrightarrow \) верно.

а) Для начала, запишем систему уравнений прямых, которые пересекаются:

\( \begin{cases} x + y = 5 \\ 3x + y = 7 \end{cases} \).

Решим эту систему методом подстановки или исключения. Для удобства выразим \( y \) из первого уравнения:

\( x + y = 5 \Rightarrow y = 5 — x \).

Подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение системы:

\( 3x + (5 — x) = 7 \)

Раскроем скобки:

\( 3x + 5 — x = 7 \)

Упростим:

\( 2x + 5 = 7 \)

Теперь решим это уравнение относительно \( x \):

\( 2x = 7 — 5 \)

\( 2x = 2 \)

\( x = \frac{2}{2} = 1 \).

Теперь подставим \( x = 1 \) в выражение для \( y \):

\( y = 5 — 1 = 4 \).

Таким образом, координаты точки пересечения прямых: \( (1; 4) \).

Проверим найденное решение, подставив \( x = 1 \) и \( y = 4 \) в исходные уравнения системы:

Подставляем в первое уравнение \( x + y = 5 \):

\( 1 + 4 = 5 \)

\( 5 = 5 \), это верно.

Теперь подставим в второе уравнение \( 3x + y = 7 \):

\( 3 \cdot 1 + 4 = 7 \)

\( 3 + 4 = 7 \)

\( 7 = 7 \), это тоже верно.

Таким образом, пара чисел \( (1; 4) \) является решением данной системы уравнений, и это координаты точки пересечения прямых.

Ответ: Точка пересечения прямых имеет координаты \( (1; 4) \).

б) Проверим другую систему уравнений.

Прямые пересекаются в точке с координатой \( (-1; -1) \).

\( \begin{cases} y + 2x = -3 \\ -2x + y = 1 \end{cases} \).

Решим эту систему. Для начала выразим \( y \) из первого уравнения:

\( y + 2x = -3 \Rightarrow y = -3 — 2x \).

Теперь подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение системы:

\( -2x + (-3 — 2x) = 1 \)

Раскроем скобки:

\( -2x — 3 — 2x = 1 \)

Упростим:

\( -4x — 3 = 1 \)

Теперь решим это уравнение относительно \( x \):

\( -4x = 1 + 3 \)

\( -4x = 4 \)

\( x = \frac{4}{-4} = -1 \).

Теперь подставим \( x = -1 \) в выражение для \( y \):

\( y = -3 — 2 \cdot (-1) = -3 + 2 = -1 \).

Таким образом, координаты точки пересечения прямых: \( (-1; -1) \).

Проверим найденное решение, подставив \( x = -1 \) и \( y = -1 \) в исходные уравнения системы:

Подставляем в первое уравнение \( y + 2x = -3 \):

\( -1 + 2 \cdot (-1) = -3 \)

\( -1 — 2 = -3 \)

\( -3 = -3 \), это верно.

Теперь подставим в второе уравнение \( -2x + y = 1 \):

\( -2 \cdot (-1) + (-1) = 1 \)

\( 2 — 1 = 1 \)

\( 1 = 1 \), это тоже верно.

Таким образом, пара чисел \( (-1; -1) \) является решением данной системы уравнений, и это координаты точки пересечения прямых.

Ответ: Точка пересечения прямых имеет координаты \( (-1; -1) \).