ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 31.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \( \begin{cases} 5x + 2y = 15 \\ 8x + 3y = 20 \end{cases} \)

2) \( \begin{cases} 7x + 4y = 5 \\ 3x + 2y = 3 \end{cases} \)

3) \( \begin{cases} 8p — 5q = -11 \\ 5p — 4q = -6 \end{cases} \)

4) \( \begin{cases} 6u — 5v = -38 \\ 2u + 7v = 22 \end{cases} \)

1) \( \begin{cases} 5x + 2y = 15 \\ 8x + 3y = 20 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x = 15 — 2y \\ 8x + 3y = 20 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 3 — 0,4y \\ 8(3 — 0,4y) + 3y = 20 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 3 — 0,4y \\ 24 — 3,2y + 3y = 20 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 3 — 0,4y \\ -0,2y = -4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 3 — 0,4 \cdot 20 \\ y = 20 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -5 \\ y = 20 \end{cases} \).

Ответ: \( (-5; 20). \)

2) \( \begin{cases} 7x + 4y = 5 \\ 3x + 2y = 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 7x = 5 — 4y \\ 3x + 2y = 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{5 — 4y}{7} \\ 3\left(\frac{5 — 4y}{7}\right) + 2y = 3 \end{cases} \)

Решим второе уравнение системы:

\( 3 \cdot \frac{5 — 4y}{7} + 2y = 3 \quad | \cdot 7 \)

\( 3(5 — 4y) + 14y = 21 \)

\( 15 — 12y + 14y = 21 \)

\( 2y = 6 \)

\( y = 3. \)

\( \begin{cases} x = \frac{5 — 4 \cdot 3}{7} \\ y = 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -1 \\ y = 3 \end{cases} \).

Ответ: \( (-1; 3). \)

3) \( \begin{cases} 8p — 5q = -11 \\ 5p — 4q = -6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 8p = 5q — 11 \\ 5p — 4q = -6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} p = \frac{5q — 11}{8} \\ 5\left(\frac{5q — 11}{8}\right) — 4q = -6 \end{cases} \)

Решим второе уравнение системы:

\( 5 \cdot \frac{5q — 11}{8} — 4q = -6 \quad | \cdot 8 \)

\( 5(5q — 11) — 32q = -48 \)

\( 25q — 55 — 32q = -48 \)

\( -7q = 7 \)

\( q = -1. \)

\( \begin{cases} p = \frac{5 \cdot (-1) — 11}{8} \\ q = -1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} p = -2 \\ q = -1 \end{cases} \).

Ответ: \( (-2; -1). \)

4) \( \begin{cases} 6u — 5v = -38 \\ 2u + 7v = 22 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 6u = 5v — 38 \\ 2u + 7v = 22 \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = \frac{5v — 38}{6} \\ 2\left(\frac{5v — 38}{6}\right) + 7v = 22 \end{cases} \)

Решим второе уравнение системы:

\( 2 \cdot \frac{5v — 38}{6} + 7v = 22 \)

\( \frac{5v — 38}{3} + 7v = 22 \quad | \cdot 3 \)

\( 5v — 38 + 21v = 66 \)

\( 26v = 104 \)

\( v = 4. \)

\( \begin{cases} u = \frac{5 \cdot 4 — 38}{6} \\ v = 4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = -3 \\ v = 4 \end{cases} \).

Ответ: \( (-3; 4). \)

1) \( \begin{cases} 5x + 2y = 15 \\ 8x + 3y = 20 \end{cases} \)

Из первого уравнения выразим \( 5x \):

\( 5x = 15 — 2y \)

Теперь выразим \( x \) через \( y \):

\( x = \frac{15 — 2y}{5} \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( 8x + 3y = 20 \quad \Rightarrow \quad 8 \left( \frac{15 — 2y}{5} \right) + 3y = 20 \)

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дробей:

\( 8(15 — 2y) + 15y = 100 \)

Раскроем скобки:

\( 120 — 16y + 15y = 100 \)

Упростим выражение:

\( 120 — y = 100 \)

Вычтем 120 из обеих частей уравнения:

\( -y = -20 \)

Теперь умножим обе части на -1:

\( y = 20 \)

Теперь подставим найденное значение \( y \) в выражение для \( x \):

\( x = \frac{15 — 2 \cdot 20}{5} = \frac{15 — 40}{5} = \frac{-25}{5} = -5 \)

Ответ: \( (-5; 20). \)

2) \( \begin{cases} 7x + 4y = 5 \\ 3x + 2y = 3 \end{cases} \)

Из первого уравнения выразим \( 7x \):

\( 7x = 5 — 4y \)

Теперь выразим \( x \) через \( y \):

\( x = \frac{5 — 4y}{7} \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( 3x + 2y = 3 \quad \Rightarrow \quad 3\left(\frac{5 — 4y}{7}\right) + 2y = 3 \)

Умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дробей:

\( 3(5 — 4y) + 14y = 21 \)

Раскроем скобки:

\( 15 — 12y + 14y = 21 \)

Упростим выражение:

\( 15 + 2y = 21 \)

Вычтем 15 из обеих частей уравнения:

\( 2y = 6 \)

Теперь разделим обе части на 2:

\( y = 3 \)

Теперь подставим найденное значение \( y \) в выражение для \( x \):

\( x = \frac{5 — 4 \cdot 3}{7} = \frac{5 — 12}{7} = \frac{-7}{7} = -1 \)

Ответ: \( (-1; 3). \)

3) \( \begin{cases} 8p — 5q = -11 \\ 5p — 4q = -6 \end{cases} \)

Из первого уравнения выразим \( 8p \):

\( 8p = 5q — 11 \)

Теперь выразим \( p \) через \( q \):

\( p = \frac{5q — 11}{8} \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( 5p — 4q = -6 \quad \Rightarrow \quad 5\left(\frac{5q — 11}{8}\right) — 4q = -6 \)

Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от дробей:

\( 5(5q — 11) — 32q = -48 \)

Раскроем скобки:

\( 25q — 55 — 32q = -48 \)

Упростим выражение:

\( -7q — 55 = -48 \)

Прибавим 55 к обеим частям уравнения:

\( -7q = 7 \)

Теперь разделим обе части на -7:

\( q = -1 \)

Теперь подставим найденное значение \( q \) в выражение для \( p \):

\( p = \frac{5 \cdot (-1) — 11}{8} = \frac{-5 — 11}{8} = \frac{-16}{8} = -2 \)

Ответ: \( (-2; -1). \)

4) \( \begin{cases} 6u — 5v = -38 \\ 2u + 7v = 22 \end{cases} \)

Из первого уравнения выразим \( 6u \):

\( 6u = 5v — 38 \)

Теперь выразим \( u \) через \( v \):

\( u = \frac{5v — 38}{6} \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( 2u + 7v = 22 \quad \Rightarrow \quad 2\left(\frac{5v — 38}{6}\right) + 7v = 22 \)

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

\( \frac{5v — 38}{3} + 7v = 22 \quad | \cdot 3 \)

\( 5v — 38 + 21v = 66 \)

Упростим выражение:

\( 26v — 38 = 66 \)

Теперь прибавим 38 к обеим частям уравнения:

\( 26v = 104 \)

Теперь разделим обе части на 26:

\( v = 4 \)

Теперь подставим найденное значение \( v \) в выражение для \( u \):

\( u = \frac{5 \cdot 4 — 38}{6} = \frac{20 — 38}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \)

Ответ: \( (-3; 4). \)