ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 32.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( (x + y)^2 + (x — 3)^2 = 0; \)

2) \( (x + 2y — 3)^2 + x^2 — 4xy + 4y^2 = 0 \)

3) \( |x — 3y — 6| + (9x + 6y — 32)^2 = 0; \)

4) \( x^2 + y^2 + 10x — 12y + 61 = 0 \)

5) \( 25x^2 + 10y^2 — 30xy + 8y + 16 = 0 \)

1) \( (x + y)^2 + (x — 3)^2 = 0; \)

\( \begin{cases} x + y = 0 \\ x — 3 = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 3 \\ y = -x \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 3 \\ y = -3 \end{cases} \).

Ответ: \( (3; -3) \).

2) \( (x + 2y — 3)^2 + x^2 — 4xy + 4y^2 = 0 \)

\( (x + 2y — 3)^2 + (x — 2y)^2 = 0; \)

\( \begin{cases} x + 2y — 3 = 0 \\ x — 2y = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + 2y = 3 \\ x — 2y = 0 \end{cases} + \)

\( \begin{cases} 2x = 3 \\ x — 2y = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 1,5 \\ 2y = x \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 1,5 \\ 2y = 1,5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 1,5 \\ y = 0,75 \end{cases} \).

Ответ: \( (1,5; 0,75) \).

3) \( |x — 3y — 6| + (9x + 6y — 32)^2 = 0; \)

\( \begin{cases} x — 3y — 6 = 0 \\ 9x + 6y — 32 = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x — 3y = 6 & | \cdot 2 \\ 9x + 6y = 32 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x — 6y = 12 \\ 9x + 6y = 32 \end{cases} + \)

\( \begin{cases} 11x = 44 \\ x — 3y = 6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 4 \\ 3y = x — 6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 4 \\ 3y = -2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 4 \\ y = -\frac{2}{3} \end{cases} \).

Ответ: \( \left(4; -\frac{2}{3}\right) \).

4) \( x^2 + y^2 + 10x — 12y + 61 = 0 \)

\( (x^2 + 10x + 25) + (y^2 — 12y + 36) = 0 \)

\( (x + 5)^2 + (y — 6)^2 = 0; \)

\( \begin{cases} x + 5 = 0 \\ y — 6 = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -5 \\ y = 6 \end{cases} \).

Ответ: \( (-5; 6) \).

5) \( 25x^2 + 10y^2 — 30xy + 8y + 16 = 0 \)

\( (25x^2 — 30xy + 9y^2) + (y^2 + 8y + 16) = 0 \)

\( (5x — 3y)^2 + (y + 4)^2 = 0; \)

\( \begin{cases} 5x — 3y = 0 \\ y + 4 = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x = 3y \\ y = -4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x = -12 \\ y = -4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -2,4 \\ y = -4 \end{cases} \).

Ответ: \( (-2,4; -4) \).

1) \( (x + y)^2 + (x — 3)^2 = 0; \)

Раскроем скобки:

\( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)

\( (x — 3)^2 = x^2 — 6x + 9 \)

Теперь подставим это в уравнение:

\( x^2 + 2xy + y^2 + x^2 — 6x + 9 = 0 \)

Упростим уравнение:

\( 2x^2 + 2xy + y^2 — 6x + 9 = 0 \)

Чтобы решить это уравнение, рассмотрим систему, которую получим, если оба слагаемых из второго уравнения равны нулю:

\( \begin{cases} x + y = 0 \\ x — 3 = 0 \end{cases} \)

Из второго уравнения \( x — 3 = 0 \) получаем:

\( x = 3 \)

Теперь подставим \( x = 3 \) в первое уравнение:

\( 3 + y = 0 \), что даёт:

\( y = -3 \)

Таким образом, точка пересечения: \( (3; -3) \).

Ответ: \( (3; -3) \).

2) \( (x + 2y — 3)^2 + x^2 — 4xy + 4y^2 = 0 \)

Перепишем уравнение:

\( (x + 2y — 3)^2 + (x — 2y)^2 = 0; \)

Теперь раскроем скобки в обоих выражениях:

\( (x + 2y — 3)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2 — 6x — 12y + 9 \)

\( (x — 2y)^2 = x^2 — 4xy + 4y^2 \)

Подставим это в исходное уравнение:

\( x^2 + 4xy + 4y^2 — 6x — 12y + 9 + x^2 — 4xy + 4y^2 = 0 \)

Упростим уравнение:

\( 2x^2 + 8y^2 — 6x — 12y + 9 = 0 \)

Теперь решим систему уравнений, полученную из этого уравнения:

\( \begin{cases} x + 2y — 3 = 0 \\ x — 2y = 0 \end{cases} \)

Решим второе уравнение \( x — 2y = 0 \), получаем:

\( x = 2y \)

Теперь подставим \( x = 2y \) в первое уравнение:

\( 2y + 2y — 3 = 0 \), что даёт:

\( 4y = 3 \)

Решим относительно \( y \):

\( y = \frac{3}{4} \)

Теперь подставим \( y = \frac{3}{4} \) в \( x = 2y \):

\( x = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \)

Таким образом, точка пересечения: \( \left(\frac{3}{2}; \frac{3}{4}\right) \).

Ответ: \( \left(1,5; 0,75\right) \).

3) \( |x — 3y — 6| + (9x + 6y — 32)^2 = 0; \)

Так как сумма двух выражений равна нулю, оба выражения должны быть равны нулю:

\( x — 3y — 6 = 0 \) и \( 9x + 6y — 32 = 0 \)

Решим систему этих уравнений:

\( \begin{cases} x — 3y = 6 \\ 9x + 6y = 32 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 2:

\( \begin{cases} 2x — 6y = 12 \\ 9x + 6y = 32 \end{cases} \)

Теперь сложим эти уравнения:

\( (2x — 6y) + (9x + 6y) = 12 + 32 \), что даёт:

\( 11x = 44 \)

Решаем относительно \( x \):

\( x = \frac{44}{11} = 4 \)

Теперь подставим \( x = 4 \) в первое уравнение \( x — 3y = 6 \):

\( 4 — 3y = 6 \), что даёт:

\( -3y = 6 — 4 = 2 \)

Решаем относительно \( y \):

\( y = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \)

Ответ: \( \left(4; -\frac{2}{3}\right) \).

4) \( x^2 + y^2 + 10x — 12y + 61 = 0 \)

Перепишем уравнение:

\( (x^2 + 10x + 25) + (y^2 — 12y + 36) = 0 \)

\( (x + 5)^2 + (y — 6)^2 = 0; \)

Так как сумма квадратов двух чисел равна нулю, оба числа должны быть равны нулю:

\( x + 5 = 0 \) и \( y — 6 = 0 \)

Решаем систему:

\( x = -5 \) и \( y = 6 \)

Ответ: \( (-5; 6) \).

5) \( 25x^2 + 10y^2 — 30xy + 8y + 16 = 0 \)

Перепишем уравнение:

\( (25x^2 — 30xy + 9y^2) + (y^2 + 8y + 16) = 0 \)

\( (5x — 3y)^2 + (y + 4)^2 = 0; \)

Так как сумма квадратов двух чисел равна нулю, оба числа должны быть равны нулю:

\( 5x — 3y = 0 \) и \( y + 4 = 0 \)

Решаем систему:

\( 5x = 3y \) и \( y = -4 \)

Подставим \( y = -4 \) в \( 5x = 3y \):

\( 5x = 3(-4) = -12 \)

Решаем относительно \( x \):

\( x = \frac{-12}{5} = -2,4 \)

Ответ: \( (-2,4; -4) \).