ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 32.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратна 3.

Пусть даны два натуральных числа, каждое из которых не делится нацело на 3: \( (3n — 1) \) и \( (3n + 1) \).

Тогда:

\( (3n + 1)^2 — (3n — 1)^2 = 9n^2 + 6n + 1 — 9n^2 + 6n — 1 = 12n \to \) кратно 3.

Следовательно, разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратна 3.

Что и требовалось доказать.

Пусть даны два натуральных числа, каждое из которых не делится нацело на 3. Обозначим эти числа через \( (3n — 1) \) и \( (3n + 1) \), где \( n \) — целое число.

Необходимо доказать, что разность их квадратов кратна 3.

Рассмотрим разность квадратов этих чисел:

\( (3n + 1)^2 — (3n — 1)^2 \)

Используем формулу разности квадратов: \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \), где \( a = 3n + 1 \) и \( b = 3n — 1 \). Тогда:

\( (3n + 1)^2 — (3n — 1)^2 = [(3n + 1) — (3n — 1)] \cdot [(3n + 1) + (3n — 1)] \)

Упростим оба выражения в скобках:

\( (3n + 1) — (3n — 1) = 2 \)

\( (3n + 1) + (3n — 1) = 6n \)

Тогда разность квадратов равна:

\( (3n + 1)^2 — (3n — 1)^2 = 2 \cdot 6n = 12n \)

Очевидно, что \( 12n \) делится на 3, так как \( 12n = 3 \cdot 4n \), и следовательно, разность квадратов кратна 3.

Таким образом, мы доказали, что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратна 3.

Что и требовалось доказать.