ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 32.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите решение системы уравнений:

1) \( \begin{cases} (x — 3)^2 — 4y = (x + 2)(x + 1) — 6 \\ (x — 4)(y + 6) = (x + 3)(y — 7) + 3 \end{cases} \)

2) \( \begin{cases} (x — y)(x + y) — x(x + 10) = y(5 — y) + 15 \\ (x + 1)^2 + (y — 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 — 18 \end{cases} \)

1) \( \begin{cases} (x — 3)^2 — 4y = (x + 2)(x + 1) — 6 \\ (x — 4)(y + 6) = (x + 3)(y — 7) + 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 — 6x + 9 — 4y = x^2 + 3x + 2 — 6 \\ xy + 6x — 4y — 24 = xy — 7x + 3y — 21 + 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -6x — 4y — 3x = -4 — 9 \\ 6x — 4y + 7x — 3y = -18 + 24 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -9x — 4y = -13 \\ 13x — 7y = 6 \end{cases}  \)

\( \begin{cases} -117x — 52y = -169 \\ 117x — 63y = 54 \end{cases} + \)

\( \begin{cases} -115y = -115 \\ 13x — 7y = 6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 1 \\ 13x = 6 + 7y \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 1 \\ 13x = 13 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases} \).

Ответ: \( (1; 1) \).

2) \( \begin{cases} (x — y)(x + y) — x(x + 10) = y(5 — y) + 15 \\ (x + 1)^2 + (y — 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 — 18 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 — y^2 — x^2 — 10x = 5y — y^2 + 15 \\ x^2 + 2x + 1 + y^2 — 2y + 1 = x^2 + 8x + 16 + y^2 + 4y + 4 — 18 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -10x — 5y = 15 \\ 2x — 2y — 8x — 4y = 2 — 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2x — y = 3 \\ -6x — 6y = 0 \end{cases} \quad | : 5 \)

\( \begin{cases} -2x — y = 3 \\ -x + y = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -x = 3 \\ x + y = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -3 \\ y = -x \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -3 \\ y = 3 \end{cases} \).

Ответ: \( (-3; 3) \).

1) Решим систему уравнений:

\( \begin{cases} (x — 3)^2 — 4y = (x + 2)(x + 1) — 6 \\ (x — 4)(y + 6) = (x + 3)(y — 7) + 3 \end{cases} \)

Раскроем скобки в обоих уравнениях:

Первое уравнение:

\( (x — 3)^2 — 4y = (x + 2)(x + 1) — 6 \), раскроем скобки:

\( x^2 — 6x + 9 — 4y = x^2 + 3x + 2 — 6 \).

Теперь упростим оба уравнения:

\( x^2 — 6x + 9 — 4y = x^2 + 3x + 2 — 6 \) преобразуется в:

\( x^2 — 6x + 9 — 4y = x^2 + 3x — 4 \).

Преобразуем уравнение, вычитая \( x^2 \) с обеих сторон:

\( -6x + 9 — 4y = 3x — 4 \).

Переносим все переменные на одну сторону и числа на другую:

\( -6x — 3x = -4 — 9 + 4y \), что даёт:

\( -9x — 4y = -13 \).

Теперь разберем второе уравнение:

\( (x — 4)(y + 6) = (x + 3)(y — 7) + 3 \).

Раскроем скобки:

\( xy + 6x — 4y — 24 = xy — 7x + 3y — 21 + 3 \), что даёт:

\( xy + 6x — 4y — 24 = xy — 7x + 3y — 18 \).

Теперь сократим \( xy \) с обеих сторон:

\( 6x — 4y — 24 = -7x + 3y — 18 \).

Переносим все переменные с \( x \) и \( y \) влево, а числа вправо:

\( 6x + 7x — 4y — 3y = -18 + 24 \), что даёт:

\( 13x — 7y = 6 \).

Теперь у нас система уравнений:

\( \begin{cases} -9x — 4y = -13 \\ 13x — 7y = 6 \end{cases} \).

Умножим первое уравнение на 13, а второе на 9, чтобы привести коэффициенты перед \( x \) к одинаковым значениям:

\( 13 \cdot (-9x — 4y) = 13 \cdot (-13) \), что даёт:

\( -117x — 52y = -169 \).

А второе уравнение умножим на 9:

\( 9 \cdot (13x — 7y) = 9 \cdot 6 \), что даёт:

\( 117x — 63y = 54 \).

Теперь у нас система:

\( \begin{cases} -117x — 52y = -169 \\ 117x — 63y = 54 \end{cases} \).

Сложим оба уравнения:

\( (-117x — 52y) + (117x — 63y) = -169 + 54 \), что даёт:

\( -115y = -115 \).

Решаем относительно \( y \):

\( y = \frac{-115}{-115} = 1 \).

Теперь подставим значение \( y = 1 \) в одно из исходных уравнений, например, в \( 13x — 7y = 6 \):

\( 13x — 7 \cdot 1 = 6 \), что даёт:

\( 13x — 7 = 6 \).

Переносим -7 на правую сторону:

\( 13x = 13 \).

Решаем относительно \( x \):

\( x = \frac{13}{13} = 1 \).

Таким образом, решение системы: \( x = 1 \), \( y = 1 \).

Ответ: \( (1; 1) \).

2) Решим вторую систему уравнений:

\( \begin{cases} (x — y)(x + y) — x(x + 10) = y(5 — y) + 15 \\ (x + 1)^2 + (y — 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 — 18 \end{cases} \)

Первое уравнение:

\( (x — y)(x + y) — x(x + 10) = y(5 — y) + 15 \).

Раскроем скобки:

\( x^2 — y^2 — x^2 — 10x = 5y — y^2 + 15 \), что даёт:

\( -10x — 5y = 15 \).

Теперь второе уравнение:

\( (x + 1)^2 + (y — 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 — 18 \).

Раскроем скобки:

\( x^2 + 2x + 1 + y^2 — 2y + 1 = x^2 + 8x + 16 + y^2 + 4y + 4 — 18 \).

Упростим:

\( x^2 + 2x + 1 + y^2 — 2y + 1 = x^2 + 8x + 16 + y^2 + 4y + 4 — 18 \), что даёт:

\( 2x — 2y — 8x — 4y = 2 — 2 \).

Упростим это выражение:

\( -6x — 6y = 0 \), что даёт:

\( -2x — y = 3 \) (разделим на 5).

Теперь у нас система:

\( \begin{cases} -2x — y = 3 \\ -x + y = 0 \end{cases} \).

Подставим \( y = x \) из второго уравнения в первое:

\( -2x — x = 3 \), что даёт:

\( -3x = 3 \).

Решаем относительно \( x \):

\( x = -3 \).

Теперь подставим \( x = -3 \) в \( y = x \):

\( y = -3 \).

Таким образом, решение системы: \( x = -3 \), \( y = 3 \).

Ответ: \( (-3; 3) \).