ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 32.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите, не выполняя построения, координаты точки пересечения прямых:

1) y = 2 — 3x и 2x + 3y = 7;

2) 5x + 6y = -20 и 2x + 9y = 25.

1) \( y = 2 — 3x \) и \( 2x + 3y = 7; \)

\( \begin{cases} y = 2 — 3x \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y + 3x = 2 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} \quad | \cdot 3 \)

\( \begin{cases} 3y + 9x = 6 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} — \)

\( \begin{cases} 7x = -1 \\ y + 3x = 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -\frac{1}{7} \\ y = 2 — 3x \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -\frac{1}{7} \\ y = 2 + \frac{3}{7} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -\frac{1}{7} \\ y = 2\frac{3}{7} \end{cases} \).

Значит, координата точки пересечения прямых: \( \left(-\frac{1}{7}; 2\frac{3}{7}\right). \)

Ответ: \( \left(-\frac{1}{7}; 2\frac{3}{7}\right). \)

2) \( 5x + 6y = -20 \) и \( 2x + 9y = 25; \)

\( \begin{cases} 5x + 6y = -20 \\ 2x + 9y = 25 \end{cases} \quad | \cdot 3 \\ | \cdot 2 \)

\( \begin{cases} 15x + 18y = -60 \\ 4x + 18y = 50 \end{cases} — \)

\( \begin{cases} 11x = -110 \\ 2x + 9y = 25 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -10 \\ 9y = 25 — 2x \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -10 \\ 9y = 45 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -10 \\ y = 5 \end{cases} \).

Значит, координата точки пересечения прямых: \( (-10; 5). \)

Ответ: \( (-10; 5). \)

1) Решим систему уравнений: \( y = 2 — 3x \) и \( 2x + 3y = 7 \).

Подставим первое уравнение \( y = 2 — 3x \) во второе уравнение \( 2x + 3y = 7 \):

\( 2x + 3(2 — 3x) = 7 \).

Раскроем скобки:

\( 2x + 6 — 9x = 7 \).

Упростим выражение:

\( -7x + 6 = 7 \).

Переносим все числа на одну сторону:

\( -7x = 7 — 6 \), что даёт:

\( -7x = 1 \).

Решаем относительно \( x \):

\( x = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7} \).

Теперь подставим значение \( x = -\frac{1}{7} \) в первое уравнение \( y = 2 — 3x \):

\( y = 2 — 3\left(-\frac{1}{7}\right) \), что даёт:

\( y = 2 + \frac{3}{7} \).

Переводим \( 2 \) в дробь с одинаковым знаменателем:

\( y = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7} = 2\frac{3}{7})\).

Таким образом, координаты точки пересечения прямых: \( x = -\frac{1}{7} \), \( y = 2\frac{3}{7}) \).

Ответ: \( \left(-\frac{1}{7}; 2\frac{3}{7}\right) \).

2) Решим систему уравнений: \( 5x + 6y = -20 \) и \( 2x + 9y = 25 \).

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы привести коэффициенты перед \( y \) к одинаковым значениям:

\( 3(5x + 6y) = 3(-20) \), что даёт:

\( 15x + 18y = -60 \).

\( 2(2x + 9y) = 2(25) \), что даёт:

\( 4x + 18y = 50 \).

Теперь вычитаем второе уравнение из первого:

\( (15x + 18y) — (4x + 18y) = -60 — 50 \), что даёт:

\( 11x = -110 \).

Решаем относительно \( x \):

\( x = \frac{-110}{11} = -10 \).

Теперь подставим значение \( x = -10 \) в первое уравнение \( 5x + 6y = -20 \):

\( 5(-10) + 6y = -20 \), что даёт:

\( -50 + 6y = -20 \).

Переносим -50 на правую сторону:

\( 6y = -20 + 50 = 30 \).

Решаем относительно \( y \):

\( y = \frac{30}{6} = 5 \).

Таким образом, координаты точки пересечения прямых: \( x = -10 \), \( y = 5 \).

Ответ: \( (-10; 5) \).