ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Из Курска в Москву, расстояние между которыми 536 км, выехал автомобиль. Через 2,5 ч после начала движения первого автомобиля навстречу ему из Москвы выехал второй автомобиль, который встретился с первым через 2 ч после своего отправления. Найдите скорость каждого автомобиля, если первый за 2 ч проезжает на 69 км меньше, чем второй за 3 ч.

Пусть скорость первого автомобиля равна \(x\) км/ч, а скорость второго автомобиля равна \(y\) км/ч.

Первый автомобиль был в пути до встречи \((2,5 + 2) = 4,5\) ч и за это время он проехал \(4,5x\) км;

второй автомобиль был в пути до встречи 2 ч и за это время он проехал \(2y\) км. Тогда, \(4,5x + 2y = 536\).

Известно, что первый автомобиль за 2 ч проезжает на 69 км меньше, чем второй за 3 ч, то есть, \(3y — 2x = 69\).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} 4,5x + 2y = 536 \\ 3y — 2x = 69 \end{cases} \mid \cdot 3\)

\(\begin{cases} 13,5x + 6y = 1608 \\ 6y — 4x = 138 \end{cases} -\)

\(\begin{cases} 17,5x = 1470 \\ 3y — 2x = 69 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 84 \\ 3y = 69 + 2x \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 84 \\ 3y = 237 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 84 \\ y = 79 \end{cases}\)

Значит, скорость первого автомобиля равна 84 км/ч, а скорость второго — 79 км/ч.

Ответ: 84 км/ч и 79 км/ч.

Обозначим скорость первого автомобиля как \(x\) км/ч, а скорость второго автомобиля как \(y\) км/ч.

Первый автомобиль был в пути до встречи 2,5 ч + 2 ч = 4,5 ч. За это время он проехал \(4,5x\) км.

Второй автомобиль был в пути до встречи 2 ч. За это время он проехал \(2y\) км.

Так как оба автомобиля встретились на расстоянии 536 км, то расстояние, которое проехал первый автомобиль, плюс расстояние, которое проехал второй автомобиль, должно быть равно 536 км. Это можно записать как уравнение:

\(4,5x + 2y = 536\)

Также известно, что первый автомобиль за 2 ч проезжает на 69 км меньше, чем второй за 3 ч. То есть, расстояние, которое второй автомобиль проезжает за 3 ч (\(3y\)), на 69 км больше, чем расстояние, которое первый автомобиль проезжает за 2 ч (\(2x\)). Это дает нам еще одно уравнение:

\(3y — 2x = 69\)

Теперь у нас есть система уравнений:

\(\begin{cases} 4,5x + 2y = 536 \\ 3y — 2x = 69 \end{cases}\)

Для удобства умножим первое уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей:

\(3 \times (4,5x + 2y) = 3 \times 536\)

Получим:

\(13,5x + 6y = 1608\)

Теперь умножим второе уравнение на 3, чтобы получить одинаковые коэффициенты при \(y\) в обеих системах:

\(3 \times (3y — 2x) = 3 \times 69\)

Это дает:

\(9y — 6x = 207\)

Теперь сложим оба уравнения:

\(13,5x + 6y = 1608\)

\(9y — 6x = 207\)

При сложении этих уравнений получаем:

\(13,5x + 6y + 9y — 6x = 1608 + 207\)

Упростим:

\(7,5x + 15y = 1815\)

Разделим все на 15:

\(\frac{7,5x}{15} + \frac{15y}{15} = \frac{1815}{15}\)

Получим:

\(0,5x + y = 121\)

Теперь выразим \(y\) через \(x\):

\(y = 121 — 0,5x\)

Подставим это значение \(y\) во второе уравнение из исходной системы:

\(3(121 — 0,5x) — 2x = 69\)

Раскроем скобки:

\(363 — 1,5x — 2x = 69\)

Соберем все подобные члены:

\(363 — 3,5x = 69\)

Теперь вычтем 363 с обеих сторон уравнения:

\(-3,5x = 69 — 363\)

\(-3,5x = -294\)

Теперь разделим обе части на -3,5:

\(x = \frac{-294}{-3,5}\)

\(x = 84\)

Теперь подставим \(x = 84\) в выражение для \(y\):

\(y = 121 — 0,5 \times 84\)

\(y = 121 — 42\)

\(y = 79\)

Таким образом, скорость первого автомобиля равна \(x = 84\) км/ч, а скорость второго автомобиля равна \(y = 79\) км/ч.

Ответ: 84 км/ч и 79 км/ч.