ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Моторная лодка за 3 ч движения против течения реки и 2,5 ч по течению проходит 98 км. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения, если за 5 ч движения по течению она проходит на 36 км больше, чем за 4 ч против течения реки.

Пусть \(x\) км/ч собственная скорость лодки, а \(y\) км/ч скорость течения реки. Скорость лодки по течению реки равна \((x + y)\) км/ч, а против течения реки — \((x — y)\) км/ч.

За 3 ч против течения и 2,5 ч по течению лодка проходит \(3(x — y) + 2,5(x + y)\) км или 98 км. Тогда,

\(3(x — y) + 2,5(x + y) = 98\).

За 5 ч по течению реки лодка проходит на 36 км больше, чем за 4 ч против течения реки, то есть, \(5(x + y) — 4(x — y) = 36\).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} 3(x — y) + 2,5(x + y) = 98 \\ 5(x + y) — 4(x — y) = 36 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3x — 3y + 2,5x + 2,5y = 98 \\ 5x + 5y — 4x + 4y = 36 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5,5x — 0,5y = 98 \\ x + 9y = 36 \end{cases} \mid \cdot 2\)

\(\begin{cases} 11x — y = 196 \\ x + 9y = 36 \end{cases} \mid \cdot 9\)

\(\begin{cases} 99x — 9y = 1764 \\ x + 9y = 36 \end{cases} +\)

\(\begin{cases} 100x = 1800 \\ 11x — y = 196 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 18 \\ y = 11x — 196 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 18 \\ y = 2 \end{cases}\)

Значит, собственная скорость лодки 18 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч.

Ответ: 18 км/ч и 2 км/ч.

Обозначим собственную скорость лодки как \(x\) км/ч, а скорость течения реки как \(y\) км/ч.

1. Рассмотрим первый случай, когда лодка движется против течения. Скорость лодки против течения равна \(x — y\), так как скорость течения препятствует движению лодки. Лодка проходит \(3(x — y)\) км за 3 часа. Когда лодка движется по течению, её скорость равна \(x + y\), так как течение помогает её движению. Лодка проходит \(2,5(x + y)\) км за 2,5 часа. Из условия задачи известно, что за эти 3 ч против течения и 2,5 ч по течению она проходит 98 км. Это даёт следующее уравнение:

\(3(x — y) + 2,5(x + y) = 98\)

2. Рассмотрим второй случай, когда лодка за 5 ч по течению проходит на 36 км больше, чем за 4 ч против течения. За 5 ч по течению лодка проходит \(5(x + y)\) км, а за 4 ч против течения — \(4(x — y)\) км. Из условия задачи известно, что разница между этими расстояниями равна 36 км. Это даёт второе уравнение:

\(5(x + y) — 4(x — y) = 36\)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\(\begin{cases} 3(x — y) + 2,5(x + y) = 98 \\ 5(x + y) — 4(x — y) = 36 \end{cases}\)

3. Упростим первое уравнение. Раскроем скобки:

\(3x — 3y + 2,5x + 2,5y = 98\)

Теперь соберём все члены с \(x\) и \(y\) по разные стороны уравнения:

\(5,5x — 0,5y = 98\)

Теперь упростим второе уравнение. Раскроем скобки:

\(5x + 5y — 4x + 4y = 36\)

Соберём все члены с \(x\) и \(y\) по разные стороны уравнения:

\(x + 9y = 36\)

Теперь у нас есть система:

\(\begin{cases} 5,5x — 0,5y = 98 \\ x + 9y = 36 \end{cases}\)

4. Умножим первое уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

\(2 \times (5,5x — 0,5y) = 2 \times 98\)

Получаем:

\(11x — y = 196\)

Теперь у нас система:

\(\begin{cases} 11x — y = 196 \\ x + 9y = 36 \end{cases}\)

5. Умножим второе уравнение на 9:

\(9 \times (x + 9y) = 9 \times 36\)

Получаем:

\(9x + 81y = 324\)

Теперь у нас система:

\(\begin{cases} 11x — y = 196 \\ 9x + 81y = 324 \end{cases}\)

6. Умножим первое уравнение на 9 и второе на 11:

\(9 \times (11x — y) = 9 \times 196\)

Получаем:

\(99x — 9y = 1764\)

Теперь система:

\(\begin{cases} 99x — 9y = 1764 \\ 9x + 81y = 324 \end{cases}\)

7. Теперь вычитаем второе уравнение из первого:

\(99x — 9y — (9x + 81y) = 1764 — 324\)

Получаем:

\(90x — 90y = 1440\)

Теперь делим обе части на 90:

\(x — y = 16\)

8. Подставим \(x — y = 16\) в одно из уравнений системы. Подставим в уравнение \(x + 9y = 36\):

\(x = 16 + y\)

Подставляем это значение в \(x + 9y = 36\):

\((16 + y) + 9y = 36\)

Получаем:

\(16 + 10y = 36\)

Теперь вычитаем 16 с обеих сторон:

\(10y = 20\)

Разделим на 10:

\(y = 2\)

9. Теперь подставим \(y = 2\) в \(x = 16 + y\):

\(x = 16 + 2 = 18\)

Таким образом, собственная скорость лодки равна \(x = 18\) км/ч, а скорость течения реки \(y = 2\) км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки 18 км/ч, скорость течения 2 км/ч.