ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Катер за 5 ч движения по течению реки проходит на 70 км больше, чем за 3 ч движения против течения. Найдите скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если за 9 ч движения по озеру он проходит столько, сколько за 10 ч движения против течения реки.

Пусть скорость катера в стоячей воде равна \(x\) км/ч, а скорость течения реки \(y\) км/ч. Скорость катера по течению реки равна \((x + y)\) км/ч, а против течения реки — \((x — y)\) км/ч.

За 5 ч движения по течению реки катер проходит на 70 км больше, чем за 3 ч против течения реки, то есть, \(5(x + y) — 3(x — y) = 70\).

За 9 ч движения по озеру катер проходит \(9x\) км, и это столько же, сколько за 10 ч движения против течения реки — \(10(x — y)\) км. Тогда, \(9x = 10(x — y)\).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} 5(x + y) — 3(x — y) = 70 \\ 9x = 10(x — y) \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5x + 5y — 3x + 3y = 70 \\ 9x = 10x — 10y \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x + 8y = 70 \\ x = 10y \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2 \cdot 10y + 8y = 70 \\ x = 10y \end{cases}\)

\(\begin{cases} 28y = 70 \\ x = 10y \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 2,5 \\ x = 25 \end{cases}\)

Значит, скорость катера в стоячей воде равна 25 км/ч, а скорость течения реки равна 2,5 км/ч.

Ответ: 25 км/ч и 2,5 км/ч.

Обозначим собственную скорость катера как \(x\) км/ч, а скорость течения реки как \(y\) км/ч.

1. Рассмотрим первый случай, когда катер движется по течению реки и против течения. Когда катер движется по течению реки, его скорость равна \(x + y\) км/ч, так как течение помогает его движению. За 5 часов он пройдет \(5(x + y)\) км. Когда катер движется против течения, его скорость равна \(x — y\) км/ч, так как течение замедляет его. За 3 часа он пройдет \(3(x — y)\) км. Из условия задачи известно, что за 5 часов по течению катер проходит на 70 км больше, чем за 3 часа против течения. Это можно записать как:

\(5(x + y) — 3(x — y) = 70\)

2. Рассмотрим второй случай, когда катер движется по озеру и против течения. На озере катер движется с собственной скоростью \(x\) км/ч, и за 9 часов он проходит \(9x\) км. Против течения реки за 10 часов он проходит \(10(x — y)\) км. Из условия задачи известно, что за 9 часов на озере катер проходит столько же, сколько за 10 часов против течения. Это можно записать как:

\(9x = 10(x — y)\)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\(\begin{cases} 5(x + y) — 3(x — y) = 70 \\ 9x = 10(x — y) \end{cases}\)

3. Упростим первое уравнение. Раскроем скобки:

\(5x + 5y — 3x + 3y = 70\)

Теперь соберем все члены с \(x\) и \(y\) по разные стороны уравнения:

\(2x + 8y = 70\)

Теперь упростим второе уравнение. Раскроем скобки:

\(9x = 10x — 10y\)

Переносим все члены с \(x\) и \(y\) по разные стороны уравнения:

\(9x — 10x = -10y\)

Упростим:

\(-x = -10y\)

Теперь выразим \(x\) через \(y\):

\(x = 10y\)

4. Подставим \(x = 10y\) в первое уравнение \(2x + 8y = 70\):

\(2(10y) + 8y = 70\)

Упростим:

\(20y + 8y = 70\)

\(28y = 70\)

Разделим обе части на 28:

\(y = \frac{70}{28} = 2,5\)

5. Теперь, зная \(y = 2,5\), подставим это значение в \(x = 10y\):

\(x = 10 \times 2,5 = 25\)

Таким образом, скорость катера в стоячей воде равна \(x = 25\) км/ч, а скорость течения реки \(y = 2,5\) км/ч.

Ответ: скорость катера в стоячей воде 25 км/ч, скорость течения реки 2,5 км/ч.