ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

У Миши и Гали было вместе 1500 р. Когда Миша истратил \(\frac{1}{3}\) своих денег на приобретение математического справочника, а Галя — \(\frac{1}{6}\) своих денег на приобретение справочника по русскому языку, то оказалось, что Миша истратил на 50 р. больше, чем Галя. Сколько денег было у каждого из них сначала?

Пусть у Миши было \(x\) руб, а у Гали — \(y\) руб. Всего у них было \((x + y)\) руб или 1500 руб. Тогда, \(x + y = 1500\).

Когда Миша истратил \(\frac{1}{3}x\) руб, а Галя — \(\frac{1}{6}y\) руб, то оказалось, что \(\frac{1}{3}x — \frac{1}{6}y = 50\).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} x + y = 1500 \\ \frac{1}{3}x — \frac{1}{6}y = 50 \end{cases} \mid \cdot 6\)

\(\begin{cases} x + y = 1500 \\ 2x — y = 300 \end{cases} +\)

\(\begin{cases} 3x = 1800 \\ x + y = 1500 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 600 \\ y = 1500 — x \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 600 \\ y = 900 \end{cases}\)

Значит, у Миши было 600 руб, а у Гали — 900 руб.

Ответ: 600 руб и 900 руб.

Обозначим количество денег у Миши как \(x\), а количество денег у Гали как \(y\).

Из условия задачи известно, что сумма денег, которые были у Миши и Гали, равна 1500:

\(x + y = 1500\)

Когда Миша истратил \(\frac{1}{3}\) своих денег, то он потратил \(\frac{1}{3}x\) рублей. Галя потратила \(\frac{1}{6}\) своих денег, что составляет \(\frac{1}{6}y\) рублей. Из условия задачи также известно, что Миша потратил на 50 рублей больше, чем Галя. Это можно записать так:

\(\frac{1}{3}x — \frac{1}{6}y = 50\)

Теперь у нас есть система уравнений:

\(\begin{cases} x + y = 1500 \\ \frac{1}{3}x — \frac{1}{6}y = 50 \end{cases}\)

Решим эту систему шаг за шагом.

1. Умножим оба уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей во втором уравнении:

\(\left( x + y = 1500 \right) \cdot 6 \Rightarrow 6x + 6y = 9000\)

\(\left( \frac{1}{3}x — \frac{1}{6}y = 50 \right) \cdot 6 \Rightarrow 2x — y = 300\)

Теперь у нас есть система уравнений:

\(\begin{cases} 6x + 6y = 9000 \\ 2x — y = 300 \end{cases}\)

2. Из второго уравнения выразим \(y\) через \(x\):

\(2x — y = 300 \Rightarrow y = 2x — 300\)

3. Подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение:

\(6x + 6(2x — 300) = 9000\)

4. Раскроем скобки:

\(6x + 12x — 1800 = 9000\)

5. Объединим подобные члены:

\(18x — 1800 = 9000\)

6. Переносим \(-1800\) на правую сторону:

\(18x = 9000 + 1800\)

\(18x = 10800\)

7. Решим для \(x\):

\(x = \frac{10800}{18} = 600\)

8. Теперь, когда мы знаем \(x = 600\), подставим это значение во выражение для \(y\):

\(y = 2x — 300 = 2(600) — 300 = 1200 — 300 = 900\)

Таким образом, у Миши было 600 рублей, а у Гали — 900 рублей.

Ответ: у Миши было 600 рублей, а у Гали — 900 рублей.