ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Периметр прямоугольника равен 28 см. Если две противоположные стороны увеличить на 6 см, а две другие уменьшить на 2 см, то его площадь увеличится на 24 см². Найдите стороны данного прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) см и \(b\) см.

Известно, что периметр прямоугольника равен 28 см, то есть, \(2(a + b) = 28\).

Если две противоположные стороны увеличить на 6 см, то они станут по \((a + 6)\) см; а две другие уменьшить на 2 см, то они станут по \((b — 2)\) см; а площадь станет равной \((a + 6)(b — 2)\) см², что на 24 см² больше, чем первоначальная площадь \(ab\) см². Тогда, \((a + 6)(b — 2) = ab + 24\).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} 2(a + b) = 28 \\ (a + 6)(b — 2) = ab + 24 \end{cases}\)

\(\begin{cases} a + b = 14 \\ ab — 2a + 6b — 12 = ab + 24 \end{cases}\)

\(\begin{cases} a + b = 14 \\ 6b — 2a = 36 \end{cases}\)

\(\begin{cases} a + b = 14 \\ 3b — a = 18 \end{cases} +\)

\(\begin{cases} 4b = 32 \\ a + b = 14 \end{cases}\)

\(\begin{cases} b = 8 \\ a = 14 — b \end{cases}\)

\(\begin{cases} a = 6 \\ b = 8 \end{cases}\)

Значит, стороны данного прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Ответ: 6 см и 8 см.

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) см и \( b \) см, где \( a \) и \( b \) — длины сторон прямоугольника.

Из условия задачи известно, что периметр прямоугольника равен 28 см. Периметр прямоугольника рассчитывается по формуле:

\( P = 2(a + b) \).

По условию, \( P = 28 \), поэтому можем записать уравнение:

\( 2(a + b) = 28 \).

Разделим обе части уравнения на 2:

\( a + b = 14 \). Это первое уравнение системы.

Далее сказано, что если две противоположные стороны прямоугольника увеличить на 6 см, то они станут равными \( a + 6 \) см, а другие две стороны уменьшить на 2 см, они станут равными \( b — 2 \) см. Площадь нового прямоугольника будет равна произведению новых сторон, то есть \( (a + 6)(b — 2) \). Из условия задачи известно, что площадь увеличится на 24 см², то есть новая площадь будет на 24 см² больше первоначальной площади. Первоначальная площадь прямоугольника равна \( ab \). Мы можем составить второе уравнение:

\( (a + 6)(b — 2) = ab + 24 \).

Теперь раскроем скобки в левом уравнении:

\( (a + 6)(b — 2) = ab + 6b — 2a — 12 \).

Подставим это выражение в наше уравнение:

\( ab + 6b — 2a — 12 = ab + 24 \).

Теперь вычитаем \( ab \) с обеих сторон уравнения:

\( 6b — 2a — 12 = 24 \).

Переносим \( -12 \) на правую сторону уравнения:

\( 6b — 2a = 36 \).

Теперь можем разделить обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

\( 3b — a = 18 \). Это второе уравнение системы.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\(\begin{cases} a + b = 14 \\ 3b — a = 18 \end{cases}\)

Из первого уравнения выразим \( a \) через \( b \):

\( a = 14 — b \).

Подставим это выражение для \( a \) во второе уравнение:

\( 3b — (14 — b) = 18 \).

Раскроем скобки:

\( 3b — 14 + b = 18 \).

Упростим уравнение:

\( 4b — 14 = 18 \).

Теперь перенесем \( -14 \) на правую сторону уравнения:

\( 4b = 32 \).

Теперь разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти \( b \):

\( b = \frac{32}{4} = 8 \).

Теперь подставим значение \( b = 8 \) в первое уравнение \( a + b = 14 \):

\( a + 8 = 14 \).

Таким образом, \( a = 14 — 8 = 6 \).

Таким образом, стороны прямоугольника равны \( a = 6 \) см и \( b = 8 \) см.

Ответ: 6 см и 8 см.