ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см, то его площадь увеличится на 45 см². Если две противоположные стороны увеличить на 4 см, а две другие уменьшить на 5 см, то его площадь уменьшится на 17 см². Найдите стороны данного прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) см и \(b\) см, тогда его площадь равна \(ab\) см².

Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см, то они станут по \((a + 3)\) см и \((b + 3)\) см, а площадь увеличится на 45 см². Тогда, \((a + 3)(b + 3) = ab + 45\).

Если две противоположные стороны увеличить на 4 см, то они станут по \((a + 4)\) см; а две другие уменьшить на 5 см, то они станут по \((b — 5)\) см; то площадь уменьшится на 17 см². Тогда, \((a + 4)(b — 5) = ab — 17\).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} (a + 3)(b + 3) = ab + 45 \\ (a + 4)(b — 5) = ab — 17 \end{cases}\)

\(\begin{cases} ab + 3a + 3b + 9 = ab + 45 \\ ab — 5a + 4b — 20 = ab — 17 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3a + 3b = 36 \\ -5a + 4b = 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} a + b = 12 \\ 4b — 5a = 3 \end{cases} \mid \cdot 5\)

\(\begin{cases} 5a + 5b = 60 \\ 4b — 5a = 3 \end{cases} +\)

\(\begin{cases} 9b = 63 \\ a + b = 12 \end{cases}\)

\(\begin{cases} b = 7 \\ a = 12 — b \end{cases}\)

\(\begin{cases} a = 5 \\ b = 7 \end{cases}\)

Значит, стороны данного прямоугольника равны 5 см и 7 см.

Ответ: 5 см и 7 см.

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) см и \( b \) см, где \( a \) и \( b \) — длины сторон прямоугольника.

Первоначальная площадь прямоугольника равна \( ab \) см².

По условию задачи, если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см, то его площадь увеличится на 45 см². Новые размеры сторон будут \( a + 3 \) и \( b + 3 \). Тогда площадь нового прямоугольника будет равна произведению этих размеров, то есть \( (a + 3)(b + 3) \). Это увеличение площади на 45 см² можно записать следующим образом:

\( (a + 3)(b + 3) = ab + 45 \).

Раскроем скобки в этом уравнении:

\( (a + 3)(b + 3) = ab + 3b + 3a + 9 \).

Подставим это выражение в уравнение:

\( ab + 3b + 3a + 9 = ab + 45 \).

Теперь вычитаем \( ab \) с обеих сторон уравнения:

\( 3a + 3b + 9 = 45 \).

Переносим \( 9 \) на правую сторону:

\( 3a + 3b = 36 \).

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:

\( a + b = 12 \). Это первое уравнение системы.

Следующее условие задачи: если две противоположные стороны увеличить на 4 см, а две другие уменьшить на 5 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 17 см². Новые размеры сторон будут \( a + 4 \) и \( b — 5 \), и площадь нового прямоугольника будет равна \( (a + 4)(b — 5) \). Это уменьшение площади на 17 см² можно записать так:

\( (a + 4)(b — 5) = ab — 17 \).

Раскроем скобки в этом уравнении:

\( (a + 4)(b — 5) = ab — 5a + 4b — 20 \).

Подставим это выражение в уравнение:

\( ab — 5a + 4b — 20 = ab — 17 \).

Теперь вычитаем \( ab \) с обеих сторон:

\( -5a + 4b — 20 = -17 \).

Переносим \( -20 \) на правую сторону уравнения:

\( -5a + 4b = 3 \). Это второе уравнение системы.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\(\begin{cases} a + b = 12 \\ -5a + 4b = 3 \end{cases}\)

Из первого уравнения выразим \( a \) через \( b \):

\( a = 12 — b \).

Подставим это значение для \( a \) во второе уравнение:

\( -5(12 — b) + 4b = 3 \).

Раскроем скобки:

\( -60 + 5b + 4b = 3 \).

Упростим уравнение:

\( 9b — 60 = 3 \).

Теперь перенесем \( -60 \) на правую сторону уравнения:

\( 9b = 63 \).

Теперь разделим обе части уравнения на 9, чтобы найти \( b \):

\( b = \frac{63}{9} = 7 \).

Теперь подставим найденное значение \( b = 7 \) в первое уравнение \( a + b = 12 \):

\( a + 7 = 12 \).

Таким образом, \( a = 12 — 7 = 5 \).

Таким образом, стороны прямоугольника равны \( a = 5 \) см и \( b = 7 \) см.

Ответ: 5 см и 7 см.