ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Из города Солнечный в село Весёлое в 9 ч 5 мин и в 9 ч 45 мин выехали с одинаковой скоростью два автобуса. Из Весёлого в Солнечный в 9 ч 30 мин выехал велосипедист, который встретился с первым автобусом в 9 ч 45 мин, а со вторым — в 10 ч 15 мин. Найдите скорости автобусов и велосипедиста, если расстояние между Солнечным и Весёлым равно 36 км.

Пусть скорости автобусов по \(x\) км/ч, а скорость велосипедиста — \(y\) км/ч.

Первый автобус до встречи с велосипедистом был в пути: 9 ч 45 мин — 9 ч 5 мин = 40 мин = \( \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \) ч.

За это время первый автобус проехал \( \frac{2}{3}x \) км.

Второй автобус до встречи с велосипедистом ехал: 10 ч 15 мин — 9 ч 45 мин = 30 мин = \( \frac{30}{60} = \frac{1}{2} \) ч.

За это время он проехал \( \frac{1}{2}x \) км.

Велосипедист до встречи с первым автобусом ехал: 9 ч 45 мин — 9 ч 30 мин = 15 мин = \( \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \) ч.

За это время он проехал \( \frac{1}{4}y \) км.

Велосипедист до встречи со вторым автобусом был в пути: 10 ч 15 мин — 9 ч 30 мин = 45 мин = \( \frac{45}{60} = \frac{3}{4} \) ч.

За это время он проехал \( \frac{3}{4}y \) км.

Первый автобус и велосипедист проехали \( \left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}y \right) \) км или 36 км. Тогда, \( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}y = 36 \).

Второй автобус и велосипедист проехали \( \left( \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}y \right) \) км или 36 км. Тогда, \( \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}y = 36 \).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}y = 36 \\ \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}y = 36 \end{cases} \mid \cdot 12\)

\(\begin{cases} 8x + 3y = 432 \\ 2x + 3y = 144 \end{cases} -\)

\(\begin{cases} 6x = 288 \\ 2x + 3y = 144 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 48 \\ 3y = 144 — 2x \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 48 \\ 3y = 48 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 48 \\ y = 16 \end{cases}\)

Значит, скорости автобусов равны 48 км/ч, а скорость велосипедиста равна 16 км/ч.

Ответ: 48 км/ч и 16 км/ч.

Пусть скорости автобусов по \(x\) км/ч, а скорость велосипедиста — \(y\) км/ч.

Первый автобус до встречи с велосипедистом был в пути: 9 ч 45 мин — 9 ч 5 мин = 40 мин. Переведем это время в часы:

40 мин = \( \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \) ч.

За это время первый автобус проехал \( \frac{2}{3}x \) км. Почему так? Потому что, если автобус двигался со скоростью \(x\) км/ч в течение \( \frac{2}{3} \) ч, то пройденное им расстояние будет равно скорости, умноженной на время: \( \frac{2}{3} \cdot x = \frac{2}{3}x \) км.

Теперь рассмотрим второй автобус. Он был в пути до встречи с велосипедистом следующее время: 10 ч 15 мин — 9 ч 45 мин = 30 мин. Переведем 30 минут в часы:

30 мин = \( \frac{30}{60} = \frac{1}{2} \) ч.

За это время второй автобус проехал \( \frac{1}{2}x \) км. Это опять же прямое вычисление: \( \frac{1}{2} \cdot x = \frac{1}{2}x \) км.

Теперь рассчитаем, сколько времени был в пути велосипедист до встречи с первым автобусом. Он был в пути: 9 ч 45 мин — 9 ч 30 мин = 15 мин. Переведем это время в часы:

15 мин = \( \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \) ч.

За это время велосипедист проехал \( \frac{1}{4}y \) км. Это расстояние находится по аналогичной формуле: \( \frac{1}{4} \cdot y = \frac{1}{4}y \) км.

Далее, велосипедист до встречи со вторым автобусом был в пути: 10 ч 15 мин — 9 ч 30 мин = 45 мин. Переведем 45 минут в часы:

45 мин = \( \frac{45}{60} = \frac{3}{4} \) ч.

За это время велосипедист проехал \( \frac{3}{4}y \) км, снова используя формулу расстояния: \( \frac{3}{4} \cdot y = \frac{3}{4}y \) км.

Теперь у нас есть два уравнения для пути, который прошли первый автобус и велосипедист, а также второй автобус и велосипедист:

Первый автобус и велосипедист проехали вместе \( \left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}y \right) \) км, что равно 36 км. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

\( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}y = 36 \)

Второй автобус и велосипедист проехали вместе \( \left( \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}y \right) \) км, что также равно 36 км. Таким образом, записываем следующее уравнение:

\( \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}y = 36 \)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\(\begin{cases} \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}y = 36 \\ \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}y = 36 \end{cases}\)

Чтобы избавиться от дробей, умножим каждое уравнение на 12, наименьшее общее кратное знаменателей. Умножаем каждое уравнение по очереди:

\( \left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}y \right) \cdot 12 = 36 \cdot 12 \) и \( \left( \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}y \right) \cdot 12 = 36 \cdot 12 \). Решаем каждое уравнение:

Первое уравнение:

\( \left( \frac{2}{3}x \right) \cdot 12 + \left( \frac{1}{4}y \right) \cdot 12 = 432 \)

\( 8x + 3y = 432 \)

Второе уравнение:

\( \left( \frac{1}{2}x \right) \cdot 12 + \left( \frac{3}{4}y \right) \cdot 12 = 432 \)

\( 2x + 3y = 144 \)

Теперь решим систему из двух уравнений:

\(\begin{cases} 8x + 3y = 432 \\ 2x + 3y = 144 \end{cases}\)

Вычитаем второе уравнение из первого:

\( (8x + 3y) — (2x + 3y) = 432 — 144 \)

Получаем:

\( 6x = 288 \)

Решаем для \(x\):

\( x = \frac{288}{6} = 48 \)

Теперь подставим значение \(x = 48\) во второе уравнение:

\( 2 \cdot 48 + 3y = 144 \)

Получаем:

\( 96 + 3y = 144 \)

Решаем для \(y\):

\( 3y = 144 — 96 = 48 \)

\( y = \frac{48}{3} = 16 \)

Таким образом, мы нашли значения \(x = 48\) и \(y = 16\). Это означает, что скорости автобусов равны 48 км/ч, а скорость велосипедиста равна 16 км/ч.

Ответ: 48 км/ч и 16 км/ч.