ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.47 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В одном баке было 12 л воды, а в другом — 32 л. Если первый бак долить доверху водой из второго бака, то второй бак останется наполненным на половину своего объёма. Если второй бак долить доверху водой из первого, то первый бак останется наполненным на шестую часть своего объёма. Найдите объём каждого бака.

Пусть объем первого бака равен \( x \) л, а второго — \( y \) л.

Если в первый бак долить \( (x — 12) \) л воды из второго бака, то во втором баке останется \( \frac{1}{2}y \) л воды. Тогда, \( 32 — (x — 12) = \frac{1}{2}y \).

Если во второй бак долить \( (y — 32) \) л воды из первого бака, то в первом баке останется \( \frac{1}{6}x \) л воды. Тогда, \( 12 — (y — 32) = \frac{1}{6}x \).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} 32 — (x — 12) = \frac{1}{2}y \\ 12 — (y — 32) = \frac{1}{6}x \end{cases} \mid \cdot 2\)

\(\begin{cases} 64 — 2x + 24 = y \\ 72 — 6y + 192 = x \end{cases}\)

\(\begin{cases} y + 2x = 88 \\ x + 6y = 264 \end{cases} \mid \cdot 2\)

\(\begin{cases} y + 2x = 88 \\ 2x + 12y = 528 \end{cases} -\)

\(\begin{cases} 11y = 440 \\ x + 6y = 264 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 40 \\ x = 264 — 6y \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 24 \\ y = 40 \end{cases}\)

Значит, объем первого бака равен 24 л, а второго — 40 л.

Ответ: 24 л и 40 л.

Пусть объем первого бака равен \( x \) л, а второго — \( y \) л.

1. Из условия задачи известно, что если в первый бак долить \( (x — 12) \) л воды из второго бака, то во втором баке останется \( \frac{1}{2}y \) л воды. Мы можем записать это как уравнение:

\( 32 — (x — 12) = \frac{1}{2}y \).

Раскроем скобки в уравнении:

\( 32 — x + 12 = \frac{1}{2}y \),

что упрощается до:

\( 44 — x = \frac{1}{2}y \).

2. Следующее условие: если во второй бак долить \( (y — 32) \) л воды из первого бака, то в первом баке останется \( \frac{1}{6}x \) л воды. Запишем это в виде уравнения:

\( 12 — (y — 32) = \frac{1}{6}x \).

Раскроем скобки:

\( 12 — y + 32 = \frac{1}{6}x \),

что упрощается до:

\( 44 — y = \frac{1}{6}x \).

3. Таким образом, мы получили систему уравнений:

\(\begin{cases} 44 — x = \frac{1}{2}y \\ 44 — y = \frac{1}{6}x \end{cases}\)

4. Умножим оба уравнения на соответствующие множители, чтобы избавиться от дробей:

Умножим первое уравнение на 2:

\( 2(44 — x) = y \),

что даёт:

\( 88 — 2x = y \), или \( y = 88 — 2x \).

Умножим второе уравнение на 6:

\( 6(44 — y) = x \),

что даёт:

\( 264 — 6y = x \), или \( x = 264 — 6y \).

5. Теперь у нас есть система уравнений:

\(\begin{cases} y = 88 — 2x \\ x = 264 — 6y \end{cases}\)

6. Подставим выражение для \( y \) из первого уравнения во второе:

\( x = 264 — 6(88 — 2x) \).

Раскроем скобки:

\( x = 264 — 528 + 12x \),

что упрощается до:

\( x = -264 + 12x \).

7. Переносим все члены с \( x \) на одну сторону уравнения:

\( x — 12x = -264 \),

что даёт:

\( -11x = -264 \).

8. Разделим обе стороны на -11:

\( x = \frac{-264}{-11} = 24 \).

9. Подставим найденное значение \( x = 24 \) в первое уравнение системы \( y = 88 — 2x \):

\( y = 88 — 2(24) = 88 — 48 = 40 \).

10. Таким образом, объем первого бака равен 24 л, а объем второго бака — 40 л.

Ответ: 24 л и 40 л.