ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.48 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В двух бочках ёмкостью 40 л и 60 л было некоторое количество воды. Если в меньшую бочку долить доверху воды из большей, то в большей останется \( \frac{5}{7}\) количества воды, которое было в ней сначала. Если в большую бочку долить доверху воды из меньшей, то в меньшей останется \( \frac{5}{14}\) количества воды, которое было в ней сначала. Сколько литров воды было в каждой бочке сначала?

Пусть в меньшей бочке было \( x \) л воды, а в большей — \( y \) л.

Если в меньшую бочку долить \( (40 — x) \) л воды из большей бочки, то в большей останется \( \frac{5}{7}y \) л воды. Тогда, \( y — (40 — x) = \frac{5}{7}y \).

Если в большую бочку долить \( (60 — y) \) л воды из меньшей бочки, то в меньшей останется \( \frac{5}{14}x \) л воды. Тогда, \( x — (60 — y) = \frac{5}{14}x \).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} y — (40 — x) = \frac{5}{7}y \\ x — (60 — y) = \frac{5}{14}x \end{cases} \mid \cdot 7\)

\(\begin{cases} 7y — 280 + 7x = 5y \\ 14x — 840 + 14y = 5x \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2y + 7x = 280 \\ 9x + 14y = 840 \end{cases} \mid \cdot 7\)

\(\begin{cases} 14y + 49x = 1960 \\ 9x + 14y = 840 \end{cases} -\)

\(\begin{cases} 40x = 1120 \\ 2y + 7x = 280 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 28 \\ 2y = 280 — 7x \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 28 \\ 2y = 84 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 28 \\ y = 42 \end{cases}\)

Значит, в меньшей бочке было 28 л воды, а в большей — 42 л воды.

Ответ: 28 л и 42 л.

1. Обозначим количество воды в меньшей бочке как \( x \), а в большей — как \( y \). Таким образом, в меньшей бочке было \( x \) литров воды, а в большей — \( y \) литров воды.

2. Если в меньшую бочку долить доверху воды из большей, то в большей останется \( \frac{5}{7} \) от её начального количества воды. Это означает, что из большей бочки было отлито \( 40 — x \) литров воды. Запишем это как уравнение:

\( y — (40 — x) = \frac{5}{7}y \).

3. Раскроем скобки и упростим уравнение:

\( y — 40 + x = \frac{5}{7}y \),

что можно переписать как:

\( y — \frac{5}{7}y = 40 — x \).

4. Вычтем \( \frac{5}{7}y \) из \( y \), получив \( \frac{2}{7}y = 40 — x \). Таким образом, мы получаем первое уравнение:

\( \frac{2}{7}y = 40 — x \).

5. Если в большую бочку долить доверху воды из меньшей, то в меньшей останется \( \frac{5}{14} \) её начального количества воды. Это означает, что из меньшей бочки было отлито \( 60 — y \) литров воды. Запишем это как уравнение:

\( x — (60 — y) = \frac{5}{14}x \).

6. Раскроем скобки и упростим уравнение:

\( x — 60 + y = \frac{5}{14}x \),

что можно переписать как:

\( x — \frac{5}{14}x = 60 — y \).

7. Вычтем \( \frac{5}{14}x \) из \( x \), получив \( \frac{9}{14}x = 60 — y \). Таким образом, мы получаем второе уравнение:

\( \frac{9}{14}x = 60 — y \).

8. Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\(\begin{cases} \frac{2}{7}y = 40 — x \\ \frac{9}{14}x = 60 — y \end{cases}\)

9. Умножим первое уравнение на 7 и второе на 14, чтобы избавиться от дробей:

\( 7 \times \frac{2}{7}y = 7 \times (40 — x) \),

что даёт:

\( 2y = 280 — 7x \),

и второе уравнение:

\( 14 \times \frac{9}{14}x = 14 \times (60 — y) \),

что даёт:

\( 9x = 840 — 14y \).

10. Теперь у нас есть система уравнений:

\(\begin{cases} 2y = 280 — 7x \\ 9x = 840 — 14y \end{cases}\)

11. Из первого уравнения выразим \( y \):

\( y = \frac{280 — 7x}{2} \).

12. Подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение:

\( 9x = 840 — 14\left(\frac{280 — 7x}{2}\right) \).

13. Раскроем скобки:

\( 9x = 840 — 7(280 — 7x) \),

что даёт:

\( 9x = 840 — 1960 + 49x \).

14. Упростим уравнение:

\( 9x — 49x = -1120 \),

что даёт:

\( -40x = -1120 \).

15. Разделим обе стороны на -40:

\( x = \frac{1120}{40} = 28 \).

16. Подставим \( x = 28 \) в выражение для \( y \):

\( y = \frac{280 — 7(28)}{2} = \frac{280 — 196}{2} = \frac{84}{2} = 42 \).

17. Таким образом, количество воды в меньшей бочке было 28 л, а в большей — 42 л.

Ответ: 28 л и 42 л.