ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.49 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Существует ли двузначное число, удовлетворяющее таким условиям (в случае утвердительного ответа укажите это число): цифра в разряде десятков этого числа на 2 больше цифры в разряде его единиц, а разность между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равна: 1) 20; 2) 18?

Пусть дано двузначное число \( \overline{ab} = 10a + b \).

Известно, что \( a — b = 2 \).

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, равно \( \overline{ba} = 10b + a \).

1) Так же известно, что \( \overline{ab} — \overline{ba} = 20 \). Тогда, \( (10a + b) — (10b + a) = 20 \).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} a — b = 2 \\ 10a + b — (10b + a) = 20 \end{cases}\)

\(\begin{cases} a — b = 2 \\ 9a — 9b = 20 \end{cases} \mid \cdot 9\)

\(\begin{cases} 9a — 9b = 18 \\ 9a — 9b = 20 \end{cases} -\)

\(\begin{cases} 0 \ne -2 \\ a — b = 2 \end{cases} \Longrightarrow\) такого числа не существует.

Ответ: такого числа не существует.

2) Так же известно, что \( \overline{ab} — \overline{ba} = 18 \). Тогда, \( (10a + b) — (10b + a) = 18 \).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} a — b = 2 \\ 10a + b — (10b + a) = 18 \end{cases}\)

\(\begin{cases} a — b = 2 \\ 9a — 9b = 18 \end{cases} \mid : 9\)

\(\begin{cases} a — b = 2 \\ a — b = 2 \end{cases} \Longrightarrow\) таких двузначных чисел бесконечно много.

Ответ: любое двузначное число, у которого цифра десятков на 2 больше цифры единиц, на 18 больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке.

Обозначим двузначное число как \( \overline{ab} = 10a + b \), где \( a \) — цифра в разряде десятков, а \( b \) — цифра в разряде единиц.

Из условия задачи известно, что цифра в разряде десятков на 2 больше цифры в разряде единиц:

\( a — b = 2 \), где \( a > b \).

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, равно \( \overline{ba} = 10b + a \).

Теперь рассмотрим два случая:

1) Разность между числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равна 20:

Здесь мы имеем следующее уравнение:

\( \overline{ab} — \overline{ba} = 20 \), или \( (10a + b) — (10b + a) = 20 \).

Упростим это уравнение:

\( 10a + b — 10b — a = 20 \),

что даёт:

\( 9a — 9b = 20 \).

Поделим обе стороны на 9:

\( a — b = \frac{20}{9} \),

что является невозможным, так как правая часть не является целым числом.

Таким образом, для этого случая решения не существует.

2) Разность между числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равна 18:

Здесь у нас уравнение:

\( \overline{ab} — \overline{ba} = 18 \), или \( (10a + b) — (10b + a) = 18 \).

Упростим это уравнение:

\( 10a + b — 10b — a = 18 \),

что даёт:

\( 9a — 9b = 18 \).

Поделим обе стороны на 9:

\( a — b = 2 \).

Это уравнение совпадает с условием задачи, что означает, что существует решение.

Теперь мы можем решить эту систему уравнений:

\(\begin{cases} a — b = 2 \\ a = b + 2 \end{cases}\)

Подставим \( a = b + 2 \) в выражение для числа \( \overline{ab} \):

\( \overline{ab} = 10a + b = 10(b + 2) + b = 10b + 20 + b = 11b + 20 \).

Рассмотрим разницу \( \overline{ab} — \overline{ba} \):

\( \overline{ab} — \overline{ba} = (11b + 20) — (11b + 2) = 18 \),

что подтверждает, что разность равна 18.

Таким образом, число, удовлетворяющее условиям задачи, существует, и его можно записать в виде \( \overline{ab} = 11b + 20 \), где \( b \) — любая цифра от 0 до 9.

Ответ: любое двузначное число, у которого цифра десятков на 2 больше цифры единиц, на 18 больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке. Например, если \( b = 4 \), то \( a = 6 \), и число равно 64.