ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.53 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте выражение 12ab в виде разности квадратов двух многочленов. Сколько решений имеет задача?

\( 12ab = (a + 3b)^2 — (a — 3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^2 — a^2 + 6ab — 9b^2 \);

\( 12ab = (3a + b)^2 — (3a — b)^2 = 9a^2 + 6ab + b^2 — 9a^2 + 6ab — b^2 \).

Ответ: два решения.

Рассмотрим выражение \( 12ab \) в виде разности квадратов двух многочленов.

Для начала, используем формулу разности квадратов: \( (x^2 — y^2) = (x — y)(x + y) \), где \( x = (a + 3b) \) и \( y = (a — 3b) \).

Так как разность квадратов равна произведению разности и суммы этих выражений, то получаем:

\( 12ab = (a + 3b)^2 — (a — 3b)^2 \).

Раскроем квадраты в обоих членах разности:

\( (a + 3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^2 \),

\( (a — 3b)^2 = a^2 — 6ab + 9b^2 \).

Теперь подставим эти выражения в исходную разность:

\( 12ab = (a^2 + 6ab + 9b^2) — (a^2 — 6ab + 9b^2) \).

Теперь вычитаем соответствующие члены:

\( 12ab = a^2 — a^2 + 6ab + 6ab + 9b^2 — 9b^2 \),

\( 12ab = 12ab \).

Таким образом, выражение \( 12ab = (a + 3b)^2 — (a — 3b)^2 \) всегда верно и не зависит от значений \( a \) и \( b \). Это уравнение выполняется для любых значений переменных.

Теперь рассмотрим выражение \( 12ab = (3a + b)^2 — (3a — b)^2 \). Также применяем формулу разности квадратов:

\( 12ab = (3a + b)^2 — (3a — b)^2 = ((3a + b) — (3a — b))((3a + b) + (3a — b)) \).

Вычитаем и складываем выражения в скобках:

\( (3a + b) — (3a — b) = 2b \),

\( (3a + b) + (3a — b) = 6a \).

Таким образом, получаем:

\( 12ab = 2b \cdot 6a = 12ab \).

И снова получаем, что выражение верно для любых значений \( a \) и \( b \).

Ответ: два решения, так как у нас есть два способа представления \( 12ab \) через разность квадратов, но оба выражения одинаково истинны для всех значений переменных.