ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.54 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом целом значении а значение выражения (а — 3)(а² — а + 2) — а(а — 2)² + 2а делится нацело на 3.

\( (a — 3)(a^2 — a + 2) — a(a — 2)^2 + 2a = a^3 — a^2 + 2a — 3a^2 + \)

\( + 3a — 6 — a(a^2 — 4a + 4) + 2a = a^3 — 4a^2 + 5a — 6 — a^3 + 4a^2 — \)

\( — 4a + 2a = 3a — 6 = 3(a — 2) \rightarrow \) делится нацело на 3.

Что и требовалось доказать.

Докажем, что выражение \( (a — 3)(a^2 — a + 2) — a(a — 2)^2 + 2a \) делится нацело на 3 при любом целом значении \( a \).

Для начала раскроем все скобки в выражении:

1. Раскроем первую часть: \( (a — 3)(a^2 — a + 2) \).

Используем распределительное свойство для умножения:

\( (a — 3)(a^2 — a + 2) = a(a^2 — a + 2) — 3(a^2 — a + 2) \).

Теперь раскроем скобки:

\( a(a^2 — a + 2) = a^3 — a^2 + 2a \),

\( -3(a^2 — a + 2) = -3a^2 + 3a — 6 \).

Таким образом, первая часть выражения будет равна:

\( a^3 — a^2 + 2a — 3a^2 + 3a — 6 \).

2. Теперь рассмотрим вторую часть выражения: \( -a(a — 2)^2 \).

Раскроем квадрат:

\( (a — 2)^2 = a^2 — 4a + 4 \),

следовательно, \( -a(a — 2)^2 = -a(a^2 — 4a + 4) = -a^3 + 4a^2 — 4a \).

3. Переходим к третьей части выражения: \( + 2a \). Эта часть просто равна \( 2a \).

Теперь объединим все части выражения:

\( (a — 3)(a^2 — a + 2) — a(a — 2)^2 + 2a = a^3 — a^2 + 2a — 3a^2 + 3a -\)

\( — 6 — a^3 + 4a^2 — 4a + 2a \).

Теперь соберем все однотипные члены:

\( a^3 — a^3 = 0 \),

\( -a^2 — 3a^2 + 4a^2 = 0 \),

\( 2a + 3a — 4a + 2a = 3a \),

\( -6 \) остается как есть.

Таким образом, выражение упрощается до:

\( 3a — 6 \).

Теперь вынесем общий множитель 3:

\( 3a — 6 = 3(a — 2) \).

Мы видим, что выражение \( 3(a — 2) \) всегда делится на 3, независимо от значения \( a \), поскольку оно представлено в виде произведения 3 на выражение \( (a — 2) \).

Таким образом, мы доказали, что при любом целом значении \( a \) выражение \( (a — 3)(a^2 — a + 2) — a(a — 2)^2 + 2a \) делится нацело на 3.