ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 33.55 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество \( (a — bc)^2 — 2(b^2c^2 — a^2) + (bc + a)^2 = 4a^2 \).

\( (a — bc)^2 — 2(b^2c^2 — a^2) + (bc + a)^2 = 4a^2 \)

\( (a — bc)^2 — 2(bc — a)(bc + a) + (bc + a)^2 = 4a^2 \)

\( (bc — a)^2 — 2(bc — a)(bc + a) + (bc + a)^2 = 4a^2 \)

\( (bc — a — (bc + a))^2 = 4a^2 \)

\( (bc — a — bc — a)^2 = 4a^2 \)

\( (-2a)^2 = 4a^2 \)

\( 4a^2 = 4a^2 \rightarrow \) что и требовалось доказать.

Докажем тождество: \( (a — bc)^2 — 2(b^2c^2 — a^2) + (bc + a)^2 = 4a^2 \).

Для начала раскроем все скобки в выражении:

1. Раскроем первый квадрат: \( (a — bc)^2 \).

Используем формулу для квадрата разности: \( (x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2 \), где \( x = a \), а \( y = bc \).

Тогда:

\( (a — bc)^2 = a^2 — 2a(bc) + (bc)^2 = a^2 — 2abc + b^2c^2 \).

2. Теперь рассмотрим второй член: \( -2(b^2c^2 — a^2) \).

Раскроем скобки:

\( -2(b^2c^2 — a^2) = -2b^2c^2 + 2a^2 \).

3. Переходим к третьей части: \( (bc + a)^2 \).

Используем формулу для квадрата суммы: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \), где \( x = bc \), а \( y = a \).

Тогда:

\( (bc + a)^2 = (bc)^2 + 2(bc)(a) + a^2 = b^2c^2 + 2abc + a^2 \).

Теперь объединим все эти части:

\( (a — bc)^2 — 2(b^2c^2 — a^2) + (bc + a)^2 = \)

\( a^2 — 2abc + b^2c^2 — 2b^2c^2 + 2a^2 + b^2c^2 + 2abc + a^2 \).

Теперь соберем однотипные члены:

\( a^2 + 2a^2 + a^2 = 4a^2 \),

\( -2abc + 2abc = 0 \),

\( b^2c^2 — 2b^2c^2 + b^2c^2 = 0 \).

Таким образом, мы получаем:

\( 4a^2 = 4a^2 \).

Мы доказали, что выражение \( (a — bc)^2 — 2(b^2c^2 — a^2) + (bc + a)^2 \) действительно равно \( 4a^2 \), что и требовалось доказать.